Основы мат. анализа Примеры

$\frac{- 8 r^{3} s - 12 r^{2} s^{2} + 20 r s^{3}}{- 4 r s}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $4 r s$ из $- 8 r^{3} s - 12 r^{2} s^{2} + 20 r s^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $4 r s$ из $- 8 r^{3} s$ .

$\frac{4 r s (- 2 r^{2}) - 12 r^{2} s^{2} + 20 r s^{3}}{- 4 r s}$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $4 r s$ из $- 12 r^{2} s^{2}$ .

$\frac{4 r s (- 2 r^{2}) + 4 r s (- 3 r s) + 20 r s^{3}}{- 4 r s}$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $4 r s$ из $20 r s^{3}$ .

$\frac{4 r s (- 2 r^{2}) + 4 r s (- 3 r s) + 4 r s (5 s^{2})}{- 4 r s}$

Этап 1.1.4

Вынесем множитель $4 r s$ из $4 r s (- 2 r^{2}) + 4 r s (- 3 r s)$ .

$\frac{4 r s (- 2 r^{2} - 3 r s) + 4 r s (5 s^{2})}{- 4 r s}$

Этап 1.1.5

Вынесем множитель $4 r s$ из $4 r s (- 2 r^{2} - 3 r s) + 4 r s (5 s^{2})$ .

$\frac{4 r s (- 2 r^{2} - 3 r s + 5 s^{2})}{- 4 r s}$

Этап 1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 2 \cdot 5 = - 10$ , а сумма — $b = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Изменим порядок членов.

$\frac{4 r s (- 2 r^{2} + 5 s^{2} - 3 r s)}{- 4 r s}$

Этап 1.2.1.2

Изменим порядок $5 s^{2}$ и $- 3 r s$ .

$\frac{4 r s (- 2 r^{2} - 3 r s + 5 s^{2})}{- 4 r s}$

Этап 1.2.1.3

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 r s$ .

$\frac{4 r s (- 2 r^{2} - 3 (r s) + 5 s^{2})}{- 4 r s}$

Этап 1.2.1.4

Запишем $- 3$ как $2$ плюс $- 5$

$\frac{4 r s (- 2 r^{2} + (2 - 5) (r s) + 5 s^{2})}{- 4 r s}$

Этап 1.2.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 r s (- 2 r^{2} + 2 (r s) - 5 (r s) + 5 s^{2})}{- 4 r s}$

Этап 1.2.1.6

Перенесем круглые скобки.

$\frac{4 r s (- 2 r^{2} + 2 r s - 5 r s + 5 s^{2})}{- 4 r s}$

Этап 1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{4 r s ((- 2 r^{2} + 2 r s) - 5 r s + 5 s^{2})}{- 4 r s}$

Этап 1.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{4 r s (2 r (- r + s) + 5 s (- r + s))}{- 4 r s}$

Этап 1.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- r + s$ .

$\frac{4 r s ((- r + s) (2 r + 5 s))}{- 4 r s}$

$\frac{4 r s (- r + s) (2 r + 5 s)}{- 4 r s}$

Этап 2

Сократим общий множитель $4$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 r s (- r + s) (2 r + 5 s)$ .

$\frac{4 ((r s (- r + s)) (2 r + 5 s))}{- 4 r s}$

Этап 2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 r s$ .

$\frac{4 ((r s (- r + s)) (2 r + 5 s))}{4 (- r s)}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 ((r s (- r + s)) (2 r + 5 s))}{4 (- r s)}$

Этап 2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(r s (- r + s)) (2 r + 5 s)}{- r s}$

Этап 3

Сократим общий множитель $r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{r s (- r + s) (2 r + 5 s)}{- r s}$

Этап 3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(s (- r + s)) (2 r + 5 s)}{- 1 s}$

Этап 4

Сократим общий множитель $s$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{s (- r + s) (2 r + 5 s)}{- 1 s}$

Этап 4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(- r + s) (2 r + 5 s)}{- 1}$

Этап 4.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{(- r + s) (2 r + 5 s)}{- 1}$ .

$- 1 \cdot ((- r + s) (2 r + 5 s))$

Этап 5

Перепишем $- 1 \cdot ((- r + s) (2 r + 5 s))$ в виде $- ((- r + s) (2 r + 5 s))$ .

$- ((- r + s) (2 r + 5 s))$

Этап 6

Развернем $(- r + s) (2 r + 5 s)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- (- r (2 r + 5 s) + s (2 r + 5 s))$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- (- r (2 r) - r (5 s) + s (2 r + 5 s))$

Этап 6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (- r (2 r) - r (5 s) + s (2 r) + s (5 s))$

Этап 7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- (- 1 \cdot 2 r \cdot r - r (5 s) + s (2 r) + s (5 s))$

Этап 7.1.2

Умножим $r$ на $r$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Перенесем $r$ .

$- (- 1 \cdot 2 (r \cdot r) - r (5 s) + s (2 r) + s (5 s))$

Этап 7.1.2.2

Умножим $r$ на $r$ .

$- (- 1 \cdot 2 r^{2} - r (5 s) + s (2 r) + s (5 s))$

Этап 7.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- (- 2 r^{2} - r (5 s) + s (2 r) + s (5 s))$

Этап 7.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- (- 2 r^{2} - 1 \cdot 5 r s + s (2 r) + s (5 s))$

Этап 7.1.5

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- (- 2 r^{2} - 5 r s + s (2 r) + s (5 s))$

Этап 7.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- (- 2 r^{2} - 5 r s + 2 s r + s (5 s))$

Этап 7.1.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- (- 2 r^{2} - 5 r s + 2 s r + 5 s \cdot s)$

Этап 7.1.8

Умножим $s$ на $s$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.8.1

Перенесем $s$ .

$- (- 2 r^{2} - 5 r s + 2 s r + 5 (s \cdot s))$

Этап 7.1.8.2

Умножим $s$ на $s$ .

$- (- 2 r^{2} - 5 r s + 2 s r + 5 s^{2})$

Этап 7.2

Добавим $- 5 r s$ и $2 s r$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перенесем $s$ .

$- (- 2 r^{2} - 5 r s + 2 r s + 5 s^{2})$

Этап 7.2.2

Добавим $- 5 r s$ и $2 r s$ .

$- (- 2 r^{2} - 3 r s + 5 s^{2})$

Этап 8

Применим свойство дистрибутивности.

$- (- 2 r^{2}) - (- 3 r s) - (5 s^{2})$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$2 r^{2} - (- 3 r s) - (5 s^{2})$

Этап 9.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$2 r^{2} + 3 (r s) - (5 s^{2})$

Этап 9.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$2 r^{2} + 3 (r s) - 5 s^{2}$

$2 r^{2} + 3 r s - 5 s^{2}$