Основы мат. анализа Примеры

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} - 1 x - 30}{x - 2}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} - x - 30}{x - 2}$

Этап 1.2

Перепишем $x^{3} + 6 x^{2} - x - 30$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разложим $x^{3} + 6 x^{2} - x - 30$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

$q = \pm 1$

Этап 1.2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

Этап 1.2.1.3

Подставим $2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.1

Подставим $2$ в многочлен.

$2^{3} + 6 \cdot 2^{2} - 2 - 30$

Этап 1.2.1.3.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8 + 6 \cdot 2^{2} - 2 - 30$

Этап 1.2.1.3.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$8 + 6 \cdot 4 - 2 - 30$

Этап 1.2.1.3.4

Умножим $6$ на $4$ .

$8 + 24 - 2 - 30$

Этап 1.2.1.3.5

Добавим $8$ и $24$ .

$32 - 2 - 30$

Этап 1.2.1.3.6

Вычтем $2$ из $32$ .

$30 - 30$

Этап 1.2.1.3.7

Вычтем $30$ из $30$ .

$0$

Этап 1.2.1.4

Поскольку $2$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} - x - 30}{x - 2}$

Этап 1.2.1.5

Разделим $x^{3} + 6 x^{2} - x - 30$ на $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$x$

$30$

Этап 1.2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$

Этап 1.2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Этап 1.2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - 2 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Этап 1.2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$

Этап 1.2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$x$

Этап 1.2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $8 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$x$

Этап 1.2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$x$
					+	$8 x^{2}$	-	$16 x$

Этап 1.2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $8 x^{2} - 16 x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$x$
					-	$8 x^{2}$	+	$16 x$

Этап 1.2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$x$
					-	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$15 x$

Этап 1.2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$x$
					-	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$15 x$	-	$30$

Этап 1.2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $15 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$x$
					-	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$15 x$	-	$30$

Этап 1.2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$x$
					-	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$15 x$	-	$30$
							+	$15 x$	-	$30$

Этап 1.2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $15 x - 30$ .

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$x$
					-	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$15 x$	-	$30$
							-	$15 x$	+	$30$

Этап 1.2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	+	$8 x$	+	$15$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$x$
					-	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$15 x$	-	$30$
							-	$15 x$	+	$30$
										$0$

Этап 1.2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} + 8 x + 15$

Этап 1.2.1.6

Запишем $x^{3} + 6 x^{2} - x - 30$ в виде набора множителей.

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 8 x + 15)}{x - 2}$

Этап 1.2.2

Разложим $x^{2} + 8 x + 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $15$ , а сумма — $8$ .

$3, 5$

Этап 1.2.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(x - 2) ((x + 3) (x + 5))}{x - 2}$

$\frac{(x - 2) (x + 3) (x + 5)}{x - 2}$

Этап 2

Сократим общий множитель $x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 2) (x + 3) (x + 5)}{x - 2}$

Этап 2.2

Разделим $(x + 3) (x + 5)$ на $1$ .

$(x + 3) (x + 5)$

Этап 3

Развернем $(x + 3) (x + 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x + 5) + 3 (x + 5)$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 5 + 3 (x + 5)$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x \cdot x + x \cdot 5 + 3 x + 3 \cdot 5$

Этап 4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} + x \cdot 5 + 3 x + 3 \cdot 5$

Этап 4.1.2

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$x^{2} + 5 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 5$

Этап 4.1.3

Умножим $3$ на $5$ .

$x^{2} + 5 x + 3 x + 15$

Этап 4.2

Добавим $5 x$ и $3 x$ .

$x^{2} + 8 x + 15$