Основы мат. анализа Примеры

$\frac{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{2}{27} x - \frac{1}{81}}{x - \frac{1}{3}}$

Этап 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $\frac{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{2}{27} x - \frac{1}{81}}{x - \frac{1}{3}}$ на $\frac{81}{81}$ .

$\frac{81}{81} \cdot \frac{\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{2}{27} x - \frac{1}{81}}{x - \frac{1}{3}}$

Этап 1.2

Объединим.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{9} x^{2} + \frac{2}{27} x - \frac{1}{81})}{81 (x - \frac{1}{3})}$

Этап 2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) + 81 (- \frac{1}{81})}{81 x + 81 (- \frac{1}{3})}$

Этап 3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{81}$ в числитель.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) + 81 (\frac{- 1}{81})}{81 x + 81 (- \frac{1}{3})}$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) + 81 (\frac{- 1}{81})}{81 x + 81 (- \frac{1}{3})}$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 81 (- \frac{1}{3})}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3}$ в числитель.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 81 (\frac{- 1}{3})}$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $3$ из $81$ .

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 3 (27) \frac{- 1}{3}}$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 3 \cdot 27 \frac{- 1}{3}}$

Этап 3.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x + 27 \cdot - 1}$

Этап 3.3

Умножим $27$ на $- 1$ .

$\frac{81 (\frac{1}{3} x^{3}) + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27} x) - 1}{81 x - 27}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $3$ из $81$ .

$\frac{3 (27) \frac{1}{3} x^{3} + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Этап 4.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 27 \frac{1}{3} x^{3} + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Этап 4.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{27 x^{3} + 81 (- \frac{2}{9} x^{2}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Этап 4.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{2}{9}$ .

$\frac{27 x^{3} + 81 (- \frac{x^{2} \cdot 2}{9}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x^{2} \cdot 2}{9}$ в числитель.

$\frac{27 x^{3} + 81 \frac{- x^{2} \cdot 2}{9} + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель $9$ из $81$ .

$\frac{27 x^{3} + 9 (9) \frac{- x^{2} \cdot 2}{9} + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{27 x^{3} + 9 \cdot 9 \frac{- x^{2} \cdot 2}{9} + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Этап 4.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{27 x^{3} + 9 (- x^{2} \cdot 2) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Этап 4.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{27 x^{3} + 9 (- 2 x^{2}) + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Этап 4.5

Умножим $- 2$ на $9$ .

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 81 (\frac{2}{27}) x - 1}{81 x - 27}$

Этап 4.6

Сократим общий множитель $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем множитель $27$ из $81$ .

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 27 (3) \frac{2}{27} x - 1}{81 x - 27}$

Этап 4.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 27 \cdot 3 \frac{2}{27} x - 1}{81 x - 27}$

Этап 4.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 3 \cdot 2 x - 1}{81 x - 27}$

Этап 4.7

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1}{81 x - 27}$

Этап 4.8

Разложим $27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 27, \pm 3, \pm 9$

Этап 4.8.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.\overline{037}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.\overline{1}$

Этап 4.8.3

Подставим $0.\overline{3}$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $0.\overline{3}$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.1

Подставим $0.\overline{3}$ в многочлен.

$27 \cdot {0.\overline{3}}^{3} - 18 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Этап 4.8.3.2

Возведем $0.\overline{3}$ в степень $3$ .

$27 \cdot 0.\overline{037} - 18 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Этап 4.8.3.3

Умножим $27$ на $0.\overline{037}$ .

$1 - 18 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Этап 4.8.3.4

Возведем $0.\overline{3}$ в степень $2$ .

$1 - 18 \cdot 0.\overline{1} + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Этап 4.8.3.5

Умножим $- 18$ на $0.\overline{1}$ .

$1 - 2 + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Этап 4.8.3.6

Вычтем $2$ из $1$ .

$- 1 + 6 \cdot 0.\overline{3} - 1$

Этап 4.8.3.7

Умножим $6$ на $0.\overline{3}$ .

$- 1 + 2 - 1$

Этап 4.8.3.8

Добавим $- 1$ и $2$ .

$1 - 1$

Этап 4.8.3.9

Вычтем $1$ из $1$ .

$0$

Этап 4.8.4

Поскольку $0.\overline{3}$ — известный корень, разделим многочлен на $3 x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1}{3 x - 1}$

Этап 4.8.5

Разделим $27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1$ на $3 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$3 x$

$1$

$27 x^{3}$

$18 x^{2}$

$6 x$

$1$

Этап 4.8.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $27 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

					$9 x^{2}$
	$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$

Этап 4.8.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$9 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			+	$27 x^{3}$	-	$9 x^{2}$

Этап 4.8.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $27 x^{3} - 9 x^{2}$ .

				$9 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$

Этап 4.8.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$9 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$

Этап 4.8.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$9 x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$

Этап 4.8.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 9 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$

Этап 4.8.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$3 x$

Этап 4.8.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 9 x^{2} + 3 x$ .

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$

Этап 4.8.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$

Этап 4.8.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$

Этап 4.8.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x$ на член с максимальной степенью в делителе $3 x$ .

				$9 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$

Этап 4.8.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$
							+	$3 x$	-	$1$

Этап 4.8.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x - 1$ .

				$9 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$
							-	$3 x$	+	$1$

Этап 4.8.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$9 x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$27 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$6 x$	-	$1$
			-	$27 x^{3}$	+	$9 x^{2}$
					-	$9 x^{2}$	+	$6 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$3 x$
							+	$3 x$	-	$1$
							-	$3 x$	+	$1$
										$0$

Этап 4.8.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$9 x^{2} - 3 x + 1$

Этап 4.8.6

Запишем $27 x^{3} - 18 x^{2} + 6 x - 1$ в виде набора множителей.

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{81 x - 27}$

Этап 5

Вынесем множитель $27$ из $81 x - 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $27$ из $81 x$ .

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{27 (3 x) - 27}$

Этап 5.2

Вынесем множитель $27$ из $- 27$ .

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{27 (3 x) + 27 (- 1)}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $27$ из $27 (3 x) + 27 (- 1)$ .

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{27 (3 x - 1)}$

Этап 6

Сократим общий множитель $3 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(3 x - 1) (9 x^{2} - 3 x + 1)}{27 (3 x - 1)}$

Этап 6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{9 x^{2} - 3 x + 1}{27}$

Этап 7

Разобьем дробь $\frac{9 x^{2} - 3 x + 1}{27}$ на две дроби.

$\frac{9 x^{2} - 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

Этап 8

Разобьем дробь $\frac{9 x^{2} - 3 x}{27}$ на две дроби.

$\frac{9 x^{2}}{27} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

Этап 9

Сократим общий множитель $9$ и $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $9$ из $9 x^{2}$ .

$\frac{9 (x^{2})}{27} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

Этап 9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$\frac{9 x^{2}}{9 \cdot 3} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

Этап 9.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x^{2}}{9 \cdot 3} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

Этап 9.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{- 3 x}{27} + \frac{1}{27}$

Этап 10

Сократим общий множитель $- 3$ и $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x$ .

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 (- x)}{27} + \frac{1}{27}$

Этап 10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 (- x)}{3 (9)} + \frac{1}{27}$

Этап 10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{3 (- x)}{3 \cdot 9} + \frac{1}{27}$

Этап 10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{- x}{9} + \frac{1}{27}$

Этап 11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{x^{2}}{3} - \frac{x}{9} + \frac{1}{27}$