Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} - x - 12 = 0$

Этап 1

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} - x = 12$

Этап 2

Чтобы получить квадратный трехчлен в левой части уравнение, найдем значение, равное квадрату половины $b$ .

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 3

Прибавим это слагаемое к каждой части уравнения.

$x^{2} - x + {(- \frac{1}{2})}^{2} = 12 + {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 4

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$x^{2} - x + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} = 12 + {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 4.1.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} - x + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} = 12 + {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 4.1.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x^{2} - x + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} = 12 + {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 4.1.1.3

Умножим $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$x^{2} - x + \frac{1^{2}}{2^{2}} = 12 + {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 4.1.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$x^{2} - x + \frac{1}{2^{2}} = 12 + {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 4.1.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = 12 + {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Этап 4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $12 + {(- \frac{1}{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = 12 + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}$

Этап 4.2.1.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = 12 + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Этап 4.2.1.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = 12 + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Этап 4.2.1.1.3

Умножим $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = 12 + \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Этап 4.2.1.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = 12 + \frac{1}{2^{2}}$

Этап 4.2.1.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = 12 + \frac{1}{4}$

Этап 4.2.1.2

Чтобы записать $12$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = 12 \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Этап 4.2.1.3

Объединим $12$ и $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = \frac{12 \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

Этап 4.2.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = \frac{12 \cdot 4 + 1}{4}$

Этап 4.2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.5.1

Умножим $12$ на $4$ .

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = \frac{48 + 1}{4}$

Этап 4.2.1.5.2

Добавим $48$ и $1$ .

$x^{2} - x + \frac{1}{4} = \frac{49}{4}$

Этап 5

Разложим полный квадрат трехчлена на ${(x - \frac{1}{2})}^{2}$ .

${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{49}{4}$

Этап 6

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - \frac{1}{2} = \pm \sqrt{\frac{49}{4}}$

Этап 6.2

Упростим $\pm \sqrt{\frac{49}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $\sqrt{\frac{49}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{4}}$ .

$x - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{4}}$

Этап 6.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Перепишем $49$ в виде $7^{2}$ .

$x - \frac{1}{2} = \pm \frac{\sqrt{7^{2}}}{\sqrt{4}}$

Этап 6.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x - \frac{1}{2} = \pm \frac{7}{\sqrt{4}}$

Этап 6.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x - \frac{1}{2} = \pm \frac{7}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 6.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x - \frac{1}{2} = \pm \frac{7}{2}$

Этап 6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x - \frac{1}{2} = \frac{7}{2}$

Этап 6.3.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Добавим $\frac{1}{2}$ к обеим частям уравнения.

$x = \frac{7}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 6.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{7 + 1}{2}$

Этап 6.3.2.3

Добавим $7$ и $1$ .

$x = \frac{8}{2}$

Этап 6.3.2.4

Разделим $8$ на $2$ .

$x = 4$

Этап 6.3.3

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x - \frac{1}{2} = - \frac{7}{2}$

Этап 6.3.4

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.4.1

Добавим $\frac{1}{2}$ к обеим частям уравнения.

$x = - \frac{7}{2} + \frac{1}{2}$

Этап 6.3.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{- 7 + 1}{2}$

Этап 6.3.4.3

Добавим $- 7$ и $1$ .

$x = \frac{- 6}{2}$

Этап 6.3.4.4

Разделим $- 6$ на $2$ .

$x = - 3$

Этап 6.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 4, - 3$