Основы мат. анализа Примеры

$4 x^{2} - 8 x + 2 = 0$

Этап 1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} - 8 x = - 2$

Этап 2

Разделим каждый член $4 x^{2} - 8 x = - 2$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $4 x^{2} - 8 x = - 2$ на $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} + \frac{- 8 x}{4} = \frac{- 2}{4}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{2}}{4} + \frac{- 8 x}{4} = \frac{- 2}{4}$

Этап 2.2.1.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + \frac{- 8 x}{4} = \frac{- 2}{4}$

Этап 2.2.1.2

Сократим общий множитель $- 8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 8 x$ .

$x^{2} + \frac{4 (- 2 x)}{4} = \frac{- 2}{4}$

Этап 2.2.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$x^{2} + \frac{4 (- 2 x)}{4 (1)} = \frac{- 2}{4}$

Этап 2.2.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} + \frac{4 (- 2 x)}{4 \cdot 1} = \frac{- 2}{4}$

Этап 2.2.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} + \frac{- 2 x}{1} = \frac{- 2}{4}$

Этап 2.2.1.2.2.4

Разделим $- 2 x$ на $1$ .

$x^{2} - 2 x = \frac{- 2}{4}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$x^{2} - 2 x = \frac{2 (- 1)}{4}$

Этап 2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x^{2} - 2 x = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Этап 2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} - 2 x = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Этап 2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} - 2 x = \frac{- 1}{2}$

Этап 2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} - 2 x = - \frac{1}{2}$

Этап 3

Чтобы получить квадратный трехчлен в левой части уравнение, найдем значение, равное квадрату половины $b$ .

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Этап 4

Прибавим это слагаемое к каждой части уравнения.

$x^{2} - 2 x + {(- 1)}^{2} = - \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2}$

Этап 5

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x^{2} - 2 x + 1 = - \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2}$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $- \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x^{2} - 2 x + 1 = - \frac{1}{2} + 1$

Этап 5.2.1.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$x^{2} - 2 x + 1 = - \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Этап 5.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{2} - 2 x + 1 = \frac{- 1 + 2}{2}$

Этап 5.2.1.4

Добавим $- 1$ и $2$ .

$x^{2} - 2 x + 1 = \frac{1}{2}$

Этап 6

Разложим полный квадрат трехчлена на ${(x - 1)}^{2}$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{1}{2}$

Этап 7

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - 1 = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 7.2

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 7.2.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x - 1 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 7.2.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x - 1 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 7.2.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 7.2.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 7.2.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 7.2.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 7.2.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 7.2.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 7.2.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 7.2.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.2.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 7.2.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 7.2.4.6.5

Найдем экспоненту.

$x - 1 = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 7.3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$

Десятичная форма:

$x = 1.70710678 \dots, 0.29289321 \dots$