Основы мат. анализа Примеры

$4 x^{2} - 2 x + 11 = 0$

Этап 1

Вычтем $11$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} - 2 x = - 11$

Этап 2

Разделим каждый член $4 x^{2} - 2 x = - 11$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $4 x^{2} - 2 x = - 11$ на $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} + \frac{- 2 x}{4} = \frac{- 11}{4}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{2}}{4} + \frac{- 2 x}{4} = \frac{- 11}{4}$

Этап 2.2.1.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + \frac{- 2 x}{4} = \frac{- 11}{4}$

Этап 2.2.1.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{4} = \frac{- 11}{4}$

Этап 2.2.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2 (2)} = \frac{- 11}{4}$

Этап 2.2.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 2} = \frac{- 11}{4}$

Этап 2.2.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} + \frac{- x}{2} = \frac{- 11}{4}$

Этап 2.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} - \frac{x}{2} = \frac{- 11}{4}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} - \frac{x}{2} = - \frac{11}{4}$

Этап 3

Чтобы получить квадратный трехчлен в левой части уравнение, найдем значение, равное квадрату половины $b$ .

${(\frac{b}{2})}^{2} = {(- \frac{1}{4})}^{2}$

Этап 4

Прибавим это слагаемое к каждой части уравнения.

$x^{2} - \frac{x}{2} + {(- \frac{1}{4})}^{2} = - \frac{11}{4} + {(- \frac{1}{4})}^{2}$

Этап 5

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{4}$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2} = - \frac{11}{4} + {(- \frac{1}{4})}^{2}$

Этап 5.1.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{4^{2}} = - \frac{11}{4} + {(- \frac{1}{4})}^{2}$

Этап 5.1.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} + 1 \frac{1^{2}}{4^{2}} = - \frac{11}{4} + {(- \frac{1}{4})}^{2}$

Этап 5.1.1.3

Умножим $\frac{1^{2}}{4^{2}}$ на $1$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1^{2}}{4^{2}} = - \frac{11}{4} + {(- \frac{1}{4})}^{2}$

Этап 5.1.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{4^{2}} = - \frac{11}{4} + {(- \frac{1}{4})}^{2}$

Этап 5.1.1.5

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{11}{4} + {(- \frac{1}{4})}^{2}$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $- \frac{11}{4} + {(- \frac{1}{4})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{4}$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{11}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}$

Этап 5.2.1.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{11}{4} + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{4^{2}}$

Этап 5.2.1.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{11}{4} + 1 \frac{1^{2}}{4^{2}}$

Этап 5.2.1.1.3

Умножим $\frac{1^{2}}{4^{2}}$ на $1$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{11}{4} + \frac{1^{2}}{4^{2}}$

Этап 5.2.1.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{11}{4} + \frac{1}{4^{2}}$

Этап 5.2.1.1.5

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{11}{4} + \frac{1}{16}$

Этап 5.2.1.2

Чтобы записать $- \frac{11}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{11}{4} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{16}$

Этап 5.2.1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $16$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Умножим $\frac{11}{4}$ на $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{11 \cdot 4}{4 \cdot 4} + \frac{1}{16}$

Этап 5.2.1.3.2

Умножим $4$ на $4$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{11 \cdot 4}{16} + \frac{1}{16}$

Этап 5.2.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = \frac{- 11 \cdot 4 + 1}{16}$

Этап 5.2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.5.1

Умножим $- 11$ на $4$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = \frac{- 44 + 1}{16}$

Этап 5.2.1.5.2

Добавим $- 44$ и $1$ .

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = \frac{- 43}{16}$

Этап 5.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = - \frac{43}{16}$

Этап 6

Разложим полный квадрат трехчлена на ${(x - \frac{1}{4})}^{2}$ .

${(x - \frac{1}{4})}^{2} = - \frac{43}{16}$

Этап 7

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - \frac{1}{4} = \pm \sqrt{- \frac{43}{16}}$

Этап 7.2

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{43}{16}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Перепишем $- \frac{43}{16}$ в виде ${(\frac{i}{4})}^{2} \cdot 43$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Перепишем $- 1$ в виде $i^{2}$ .

$x - \frac{1}{4} = \pm \sqrt{i^{2} \frac{43}{16}}$

Этап 7.2.1.2

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $43$ .

$x - \frac{1}{4} = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 43}{16}}$

Этап 7.2.1.3

Вынесем полную степень $4^{2}$ из $16$ .

$x - \frac{1}{4} = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2} \cdot 43}{4^{2} \cdot 1}}$

Этап 7.2.1.4

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} \cdot 43}{4^{2} \cdot 1}$ .

$x - \frac{1}{4} = \pm \sqrt{i^{2} ({(\frac{1}{4})}^{2} \cdot 43)}$

Этап 7.2.1.5

Перепишем $i^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}$ в виде ${(\frac{i}{4})}^{2}$ .

$x - \frac{1}{4} = \pm \sqrt{{(\frac{i}{4})}^{2} \cdot 43}$

Этап 7.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x - \frac{1}{4} = \pm \frac{i}{4} \sqrt{43}$

Этап 7.2.3

Объединим $\frac{i}{4}$ и $\sqrt{43}$ .

$x - \frac{1}{4} = \pm \frac{i \sqrt{43}}{4}$

Этап 7.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Добавим $\frac{1}{4}$ к обеим частям уравнения.

$x = \pm \frac{i \sqrt{43}}{4} + \frac{1}{4}$

Этап 7.3.2

Изменим порядок $\pm \frac{i \sqrt{43}}{4}$ и $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{1}{4} \pm \frac{i \sqrt{43}}{4}$