Основы мат. анализа Примеры

$7 \sin^{2} (x) - 14 \sin (x) + 2 = - 5$

Этап 1

Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ .

$7 {(u)}^{2} - 14 u + 2 = - 5$

Этап 2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$7 u^{2} - 14 u + 2 + 5 = 0$

Этап 3

Добавим $2$ и $5$ .

$7 u^{2} - 14 u + 7 = 0$

Этап 4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $7$ из $7 u^{2} - 14 u + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $7$ из $7 u^{2}$ .

$7 u^{2} - 14 u + 7 = 0$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $7$ из $- 14 u$ .

$7 u^{2} + 7 (- 2 u) + 7 = 0$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $7$ из $7$ .

$7 u^{2} + 7 (- 2 u) + 7 (1) = 0$

Этап 4.1.4

Вынесем множитель $7$ из $7 u^{2} + 7 (- 2 u)$ .

$7 (u^{2} - 2 u) + 7 (1) = 0$

Этап 4.1.5

Вынесем множитель $7$ из $7 (u^{2} - 2 u) + 7 (1)$ .

$7 (u^{2} - 2 u + 1) = 0$

Этап 4.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$7 (u^{2} - 2 u + 1^{2}) = 0$

Этап 4.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Этап 4.2.3

Перепишем многочлен.

$7 (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 4.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 1$ .

$7 {(u - 1)}^{2} = 0$

Этап 5

Разделим каждый член $7 {(u - 1)}^{2} = 0$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $7 {(u - 1)}^{2} = 0$ на $7$ .

$\frac{7 {(u - 1)}^{2}}{7} = \frac{0}{7}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 {(u - 1)}^{2}}{7} = \frac{0}{7}$

Этап 5.2.1.2

Разделим ${(u - 1)}^{2}$ на $1$ .

${(u - 1)}^{2} = \frac{0}{7}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим $0$ на $7$ .

${(u - 1)}^{2} = 0$

Этап 6

Приравняем $u - 1$ к $0$ .

$u - 1 = 0$

Этап 7

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$u = 1$

Этап 8

Подставим $\sin (x)$ вместо $u$ .

$\sin (x) = 1$

Этап 9

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (1)$

Этап 10

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 11

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{2}$

Этап 12

Упростим $π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 12.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 12.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 12.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 12.3.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 13

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 13.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 13.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 13.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 14

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 15