Основы мат. анализа Примеры

$185 x^{4} - 2 x^{3} + 178 x^{2} - 2 x - 7$

Этап 1

Приравняем $185 x^{4} - 2 x^{3} + 178 x^{2} - 2 x - 7$ к $0$ .

$185 x^{4} - 2 x^{3} + 178 x^{2} - 2 x - 7 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$- 2 x^{3} - 2 x + 185 x^{4} + 178 x^{2} - 7 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $- 2 x$ из $- 2 x^{3} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $- 2 x$ из $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x + 185 x^{4} + 178 x^{2} - 7 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $- 2 x$ из $- 2 x$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot 1 + 185 x^{4} + 178 x^{2} - 7 = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $- 2 x$ из $- 2 x (x^{2}) - 2 x (1)$ .

$- 2 x (x^{2} + 1) + 185 x^{4} + 178 x^{2} - 7 = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 1) + 185 {(x^{2})}^{2} + 178 x^{2} - 7 = 0$

Этап 2.1.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- 2 x (x^{2} + 1) + 185 u^{2} + 178 u - 7 = 0$

Этап 2.1.5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 185 \cdot - 7 = - 1295$ , а сумма — $b = 178$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.1

Вынесем множитель $178$ из $178 u$ .

$- 2 x (x^{2} + 1) + 185 u^{2} + 178 (u) - 7 = 0$

Этап 2.1.5.1.2

Запишем $178$ как $- 7$ плюс $185$

$- 2 x (x^{2} + 1) + 185 u^{2} + (- 7 + 185) u - 7 = 0$

Этап 2.1.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 x (x^{2} + 1) + 185 u^{2} - 7 u + 185 u - 7 = 0$

Этап 2.1.5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- 2 x (x^{2} + 1) + 185 u^{2} - 7 u + 185 u - 7 = 0$

Этап 2.1.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- 2 x (x^{2} + 1) + u (185 u - 7) + 1 (185 u - 7) = 0$

Этап 2.1.5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $185 u - 7$ .

$- 2 x (x^{2} + 1) + (185 u - 7) (u + 1) = 0$

Этап 2.1.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 1) + (185 x^{2} - 7) (x^{2} + 1) = 0$

Этап 2.1.7

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $- 2 x (x^{2} + 1) + (185 x^{2} - 7) (x^{2} + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $- 2 x (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (- 2 x) + (185 x^{2} - 7) (x^{2} + 1) = 0$

Этап 2.1.7.2

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $(185 x^{2} - 7) (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (- 2 x) + (x^{2} + 1) (185 x^{2} - 7) = 0$

Этап 2.1.7.3

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $(x^{2} + 1) (- 2 x) + (x^{2} + 1) (185 x^{2} - 7)$ .

$(x^{2} + 1) (- 2 x + 185 x^{2} - 7) = 0$

Этап 2.1.8

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x^{2} + 1) (- 2 u + 185 u^{2} - 7) = 0$

Этап 2.1.9

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Изменим порядок членов.

$(x^{2} + 1) (185 u^{2} - 2 u - 7) = 0$

Этап 2.1.9.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 185 \cdot - 7 = - 1295$ , а сумма — $b = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 u$ .

$(x^{2} + 1) (185 u^{2} - 2 u - 7) = 0$

Этап 2.1.9.2.2

Запишем $- 2$ как $35$ плюс $- 37$

$(x^{2} + 1) (185 u^{2} + (35 - 37) u - 7) = 0$

Этап 2.1.9.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} + 1) (185 u^{2} + 35 u - 37 u - 7) = 0$

Этап 2.1.9.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x^{2} + 1) ((185 u^{2} + 35 u) - 37 u - 7) = 0$

Этап 2.1.9.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x^{2} + 1) (5 u (37 u + 7) - (37 u + 7)) = 0$

Этап 2.1.9.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $37 u + 7$ .

$(x^{2} + 1) ((37 u + 7) (5 u - 1)) = 0$

Этап 2.1.10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x^{2} + 1) ((37 x + 7) (5 x - 1)) = 0$

Этап 2.1.10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} + 1) (37 x + 7) (5 x - 1) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

$37 x + 7 = 0$

$5 x - 1 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x^{2} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x^{2} + 1$ к $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Этап 2.3.2

Решим $x^{2} + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 1$

Этап 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 2.3.2.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 2.3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 2.3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 2.3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 2.4

Приравняем $37 x + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $37 x + 7$ к $0$ .

$37 x + 7 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $37 x + 7 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$37 x = - 7$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $37 x = - 7$ на $37$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $37 x = - 7$ на $37$ .

$\frac{37 x}{37} = \frac{- 7}{37}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $37$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{37 x}{37} = \frac{- 7}{37}$

Этап 2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 7}{37}$

Этап 2.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{7}{37}$

Этап 2.5

Приравняем $5 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $5 x - 1$ к $0$ .

$5 x - 1 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $5 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$5 x = 1$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $5 x = 1$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $5 x = 1$ на $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Этап 2.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{5}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} + 1) (37 x + 7) (5 x - 1) = 0$ верно.

$x = i, - i, - \frac{7}{37}, \frac{1}{5}$

Этап 3