Основы мат. анализа Примеры

$\sqrt{121 - x} - x = 11$

Этап 1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$\sqrt{121 - x} = 11 + x$

Этап 2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{121 - x}}^{2} = {(11 + x)}^{2}$

Этап 3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{121 - x}$ в виде ${(121 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(121 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(11 + x)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим ${({(121 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(121 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(121 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(11 + x)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(121 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(11 + x)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(121 - x)}^{1} = {(11 + x)}^{2}$

Этап 3.2.1.2

Упростим.

$121 - x = {(11 + x)}^{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(11 + x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем ${(11 + x)}^{2}$ в виде $(11 + x) (11 + x)$ .

$121 - x = (11 + x) (11 + x)$

Этап 3.3.1.2

Развернем $(11 + x) (11 + x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$121 - x = 11 (11 + x) + x (11 + x)$

Этап 3.3.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$121 - x = 11 \cdot 11 + 11 x + x (11 + x)$

Этап 3.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$121 - x = 11 \cdot 11 + 11 x + x \cdot 11 + x \cdot x$

Этап 3.3.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.3.1.1

Умножим $11$ на $11$ .

$121 - x = 121 + 11 x + x \cdot 11 + x \cdot x$

Этап 3.3.1.3.1.2

Перенесем $11$ влево от $x$ .

$121 - x = 121 + 11 x + 11 \cdot x + x \cdot x$

Этап 3.3.1.3.1.3

Умножим $x$ на $x$ .

$121 - x = 121 + 11 x + 11 x + x^{2}$

Этап 3.3.1.3.2

Добавим $11 x$ и $11 x$ .

$121 - x = 121 + 22 x + x^{2}$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $x$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$121 + 22 x + x^{2} = 121 - x$

Этап 4.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$121 + 22 x + x^{2} + x = 121$

Этап 4.2.2

Добавим $22 x$ и $x$ .

$121 + x^{2} + 23 x = 121$

Этап 4.3

Вычтем $121$ из обеих частей уравнения.

$121 + x^{2} + 23 x - 121 = 0$

Этап 4.4

Объединим противоположные члены в $121 + x^{2} + 23 x - 121$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вычтем $121$ из $121$ .

$x^{2} + 23 x + 0 = 0$

Этап 4.4.2

Добавим $x^{2} + 23 x$ и $0$ .

$x^{2} + 23 x = 0$

Этап 4.5

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} + 23 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$x \cdot x + 23 x = 0$

Этап 4.5.2

Вынесем множитель $x$ из $23 x$ .

$x \cdot x + x \cdot 23 = 0$

Этап 4.5.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot 23$ .

$x (x + 23) = 0$

Этап 4.6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 23 = 0$

Этап 4.7

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 4.8

Приравняем $x + 23$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Приравняем $x + 23$ к $0$ .

$x + 23 = 0$

Этап 4.8.2

Вычтем $23$ из обеих частей уравнения.

$x = - 23$

Этап 4.9

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 23) = 0$ верно.

$x = 0, - 23$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\sqrt{121 - x} - x = 11$ истинным.

$x = 0$

Этап 6