Основы мат. анализа Примеры

$x^{4} - x^{3} - 5 x^{2} - 7 x - 84 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем члены.

$- x^{3} - 7 x + x^{4} - 5 x^{2} - 84 = 0$

Этап 1.2

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{3} - 7 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} - 7 x + x^{4} - 5 x^{2} - 84 = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $- x$ из $- 7 x$ .

$- x \cdot x^{2} - x \cdot 7 + x^{4} - 5 x^{2} - 84 = 0$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $- x$ из $- x (x^{2}) - x (7)$ .

$- x (x^{2} + 7) + x^{4} - 5 x^{2} - 84 = 0$

Этап 1.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x^{2} + 7) + {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} - 84 = 0$

Этап 1.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- x (x^{2} + 7) + u^{2} - 5 u - 84 = 0$

Этап 1.5

Разложим $u^{2} - 5 u - 84$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 84$ , а сумма — $- 5$ .

$- 12, 7$

Этап 1.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- x (x^{2} + 7) + (u - 12) (u + 7) = 0$

Этап 1.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- x (x^{2} + 7) + (x^{2} - 12) (x^{2} + 7) = 0$

Этап 1.7

Вынесем множитель $x^{2} + 7$ из $- x (x^{2} + 7) + (x^{2} - 12) (x^{2} + 7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Вынесем множитель $x^{2} + 7$ из $- x (x^{2} + 7)$ .

$(x^{2} + 7) (- x) + (x^{2} - 12) (x^{2} + 7) = 0$

Этап 1.7.2

Вынесем множитель $x^{2} + 7$ из $(x^{2} - 12) (x^{2} + 7)$ .

$(x^{2} + 7) (- x) + (x^{2} + 7) (x^{2} - 12) = 0$

Этап 1.7.3

Вынесем множитель $x^{2} + 7$ из $(x^{2} + 7) (- x) + (x^{2} + 7) (x^{2} - 12)$ .

$(x^{2} + 7) (- x + x^{2} - 12) = 0$

Этап 1.8

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x^{2} + 7) (- u + u^{2} - 12) = 0$

Этап 1.9

Разложим $- u + u^{2} - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $- 1$ .

$- 4, 3$

Этап 1.9.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x^{2} + 7) ((u - 4) (u + 3)) = 0$

Этап 1.10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x^{2} + 7) ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Этап 1.10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} + 7) (x - 4) (x + 3) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} + 7 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Этап 3

Приравняем $x^{2} + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $x^{2} + 7$ к $0$ .

$x^{2} + 7 = 0$

Этап 3.2

Решим $x^{2} + 7 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 7$

Этап 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 7}$

Этап 3.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Перепишем $- 7$ в виде $- 1 (7)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (7)}$

Этап 3.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (7)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$

Этап 3.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{7}$

Этап 3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{7}$

Этап 3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{7}$

Этап 3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{7}, - i \sqrt{7}$

Этап 4

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 4.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 5

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} + 7) (x - 4) (x + 3) = 0$ верно.

$x = i \sqrt{7}, - i \sqrt{7}, 4, - 3$

Этап 7