Основы мат. анализа Примеры

${(x)}^{- \frac{2}{3}} + {(x)}^{- \frac{1}{3}} - 12 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $x^{- \frac{2}{3}}$ в виде ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{2}$ .

${(x^{- \frac{1}{3}})}^{2} + x^{- \frac{1}{3}} - 12 = 0$

Этап 1.2

Пусть $u = x^{- \frac{1}{3}}$ . Подставим $u$ вместо $x^{- \frac{1}{3}}$ для всех.

$u^{2} + u - 12 = 0$

Этап 1.3

Разложим $u^{2} + u - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $1$ .

$- 3, 4$

Этап 1.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 3) (u + 4) = 0$

Этап 1.4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$(x^{- \frac{1}{3}} - 3) (x^{- \frac{1}{3}} + 4) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{- \frac{1}{3}} - 3 = 0$

$x^{- \frac{1}{3}} + 4 = 0$

Этап 3

Приравняем $x^{- \frac{1}{3}} - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $x^{- \frac{1}{3}} - 3$ к $0$ .

$x^{- \frac{1}{3}} - 3 = 0$

Этап 3.2

Решим $x^{- \frac{1}{3}} - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x^{- \frac{1}{3}} = 3$

Этап 3.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $- 3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3} = 3^{- 3}$

Этап 3.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Упростим ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{- \frac{1}{3} \cdot - 3} = 3^{- 3}$

Этап 3.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3}$ в числитель.

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot - 3} = 3^{- 3}$

Этап 3.2.3.1.1.1.2.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))} = 3^{- 3}$

Этап 3.2.3.1.1.1.2.3

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} = 3^{- 3}$

Этап 3.2.3.1.1.1.2.4

Перепишем это выражение.

$x^{- 1 \cdot - 1} = 3^{- 3}$

Этап 3.2.3.1.1.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{1} = 3^{- 3}$

Этап 3.2.3.1.1.2

Упростим.

$x = 3^{- 3}$

Этап 3.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Упростим $3^{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{3^{3}}$

Этап 3.2.3.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$x = \frac{1}{27}$

Этап 4

Приравняем $x^{- \frac{1}{3}} + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x^{- \frac{1}{3}} + 4$ к $0$ .

$x^{- \frac{1}{3}} + 4 = 0$

Этап 4.2

Решим $x^{- \frac{1}{3}} + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x^{- \frac{1}{3}} = - 4$

Этап 4.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $- 3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3} = {(- 4)}^{- 3}$

Этап 4.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Упростим ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{- \frac{1}{3}})}^{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{- \frac{1}{3} \cdot - 3} = {(- 4)}^{- 3}$

Этап 4.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3}$ в числитель.

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot - 3} = {(- 4)}^{- 3}$

Этап 4.2.3.1.1.1.2.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))} = {(- 4)}^{- 3}$

Этап 4.2.3.1.1.1.2.3

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} = {(- 4)}^{- 3}$

Этап 4.2.3.1.1.1.2.4

Перепишем это выражение.

$x^{- 1 \cdot - 1} = {(- 4)}^{- 3}$

Этап 4.2.3.1.1.1.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{1} = {(- 4)}^{- 3}$

Этап 4.2.3.1.1.2

Упростим.

$x = {(- 4)}^{- 3}$

Этап 4.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1

Упростим ${(- 4)}^{- 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.2.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{{(- 4)}^{3}}$

Этап 4.2.3.2.1.2

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$x = \frac{1}{- 64}$

Этап 4.2.3.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{64}$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{- \frac{1}{3}} - 3) (x^{- \frac{1}{3}} + 4) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{27}, - \frac{1}{64}$

Этап 6