Основы мат. анализа Примеры

$2 x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + 9 x + 27 = 0$

Этап 1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем члены.

$- x^{3} + 9 x + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Этап 1.2

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{3} + 9 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $- x$ из $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} + 9 x + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $- x$ из $9 x$ .

$- x \cdot x^{2} - x \cdot - 9 + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $- x$ из $- x (x^{2}) - x (- 9)$ .

$- x (x^{2} - 9) + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Этап 1.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- x (x^{2} - 3^{2}) + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Этап 1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$- x ((x + 3) (x - 3)) + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Этап 1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 x^{4} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Этап 1.5

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 {(x^{2})}^{2} - 21 x^{2} + 27 = 0$

Этап 1.6

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 21 u + 27 = 0$

Этап 1.7

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 27 = 54$ , а сумма — $b = - 21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Вынесем множитель $- 21$ из $- 21 u$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 21 u + 27 = 0$

Этап 1.7.1.2

Запишем $- 21$ как $- 3$ плюс $- 18$

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} + (- 3 - 18) u + 27 = 0$

Этап 1.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 3 u - 18 u + 27 = 0$

Этап 1.7.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- x (x + 3) (x - 3) + 2 u^{2} - 3 u - 18 u + 27 = 0$

Этап 1.7.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- x (x + 3) (x - 3) + u (2 u - 3) - 9 (2 u - 3) = 0$

Этап 1.7.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u - 3$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 u - 3) (u - 9) = 0$

Этап 1.8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 3) (x^{2} - 9) = 0$

Этап 1.9

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 3) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Этап 1.10

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 3) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Этап 1.10.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 3) (x + 3) (x - 3) = 0$

Этап 1.11

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $- x (x + 3) (x - 3) + (2 x^{2} - 3) (x + 3) (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $- x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- x) + (2 x^{2} - 3) (x + 3) (x - 3) = 0$

Этап 1.11.2

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $(2 x^{2} - 3) (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- x) + (x + 3) (x - 3) (2 x^{2} - 3) = 0$

Этап 1.11.3

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $(x + 3) (x - 3) (- x) + (x + 3) (x - 3) (2 x^{2} - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- x + 2 x^{2} - 3) = 0$

Этап 1.12

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x + 3) (x - 3) (- u + 2 u^{2} - 3) = 0$

Этап 1.13

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1

Изменим порядок членов.

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} - u - 3) = 0$

Этап 1.13.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u$ .

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} - (u) - 3) = 0$

Этап 1.13.2.2

Запишем $- 1$ как $2$ плюс $- 3$

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} + (2 - 3) u - 3) = 0$

Этап 1.13.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 3) (x - 3) (2 u^{2} + 2 u - 3 u - 3) = 0$

Этап 1.13.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 3) (x - 3) ((2 u^{2} + 2 u) - 3 u - 3) = 0$

Этап 1.13.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 3) (x - 3) (2 u (u + 1) - 3 (u + 1)) = 0$

Этап 1.13.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $u + 1$ .

$(x + 3) (x - 3) ((u + 1) (2 u - 3)) = 0$

Этап 1.14

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x + 3) (x - 3) ((x + 1) (2 x - 3)) = 0$

Этап 1.14.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 3) (x - 3) (x + 1) (2 x - 3) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Этап 3

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 3.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 6

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Этап 6.2

Решим $2 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 3$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 3) (x - 3) (x + 1) (2 x - 3) = 0$ верно.

$x = - 3, 3, - 1, \frac{3}{2}$

Этап 8