Основы мат. анализа Примеры

$5 \cot^{2} (x) - 15 = 0$

Этап 1

Добавим $15$ к обеим частям уравнения.

$5 \cot^{2} (x) = 15$

Этап 2

Разделим каждый член $5 \cot^{2} (x) = 15$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разделим каждый член $5 \cot^{2} (x) = 15$ на $5$ .

$\frac{5 \cot^{2} (x)}{5} = \frac{15}{5}$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cot^{2} (x)}{5} = \frac{15}{5}$

Этап 2.2.1.2

Разделим $\cot^{2} (x)$ на $1$ .

$\cot^{2} (x) = \frac{15}{5}$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим $15$ на $5$ .

$\cot^{2} (x) = 3$

Этап 3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\cot (x) = \pm \sqrt{3}$

Этап 4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\cot (x) = \sqrt{3}$

Этап 4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

Этап 4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\cot (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Этап 5

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\cot (x) = \sqrt{3}$

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

Этап 6

Решим относительно $x$ в $\cot (x) = \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x = arccot (\sqrt{3})$

Этап 6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Точное значение $arccot (\sqrt{3})$ : $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 6.3

Функция котангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{6}$

Этап 6.4

Упростим $π + \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Этап 6.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Этап 6.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Этап 6.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Этап 6.4.3.2

Добавим $6 π$ и $π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Этап 6.5

Найдем период $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 6.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 6.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 6.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 6.6

Период функции $\cot (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Решим относительно $x$ в $\cot (x) = - \sqrt{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Возьмем обратный котангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из котангенса.

$x = arccot (- \sqrt{3})$

Этап 7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Точное значение $arccot (- \sqrt{3})$ : $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 7.3

Функция котангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = \frac{5 π}{6} - π$

Этап 7.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Добавим $2 π$ к $\frac{5 π}{6} - π$ .

$x = \frac{5 π}{6} - π + 2 π$

Этап 7.4.2

Результирующий угол $\frac{11 π}{6}$ является положительным и отличается от $\frac{5 π}{6} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{11 π}{6}$

Этап 7.5

Найдем период $\cot (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 7.5.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 7.6

Период функции $\cot (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Объединим решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{π}{6} + π n$ и $\frac{7 π}{6} + π n$ в $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 9.2

Объединим $\frac{5 π}{6} + π n$ и $\frac{11 π}{6} + π n$ в $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 10