Основы мат. анализа Примеры

$6 x^{3} - 11 x^{2} - 9 x - 1 = 0$

Этап 1

Разложим $6 x^{3} - 11 x^{2} - 9 x - 1$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Этап 1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{3}$

Этап 1.3

Подставим $- 0.5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 0.5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Подставим $- 0.5$ в многочлен.

$6 {(- 0.5)}^{3} - 11 {(- 0.5)}^{2} - 9 \cdot - 0.5 - 1$

Этап 1.3.2

Возведем $- 0.5$ в степень $3$ .

$6 \cdot - 0.125 - 11 {(- 0.5)}^{2} - 9 \cdot - 0.5 - 1$

Этап 1.3.3

Умножим $6$ на $- 0.125$ .

$- 0.75 - 11 {(- 0.5)}^{2} - 9 \cdot - 0.5 - 1$

Этап 1.3.4

Возведем $- 0.5$ в степень $2$ .

$- 0.75 - 11 \cdot 0.25 - 9 \cdot - 0.5 - 1$

Этап 1.3.5

Умножим $- 11$ на $0.25$ .

$- 0.75 - 2.75 - 9 \cdot - 0.5 - 1$

Этап 1.3.6

Вычтем $2.75$ из $- 0.75$ .

$- 3.5 - 9 \cdot - 0.5 - 1$

Этап 1.3.7

Умножим $- 9$ на $- 0.5$ .

$- 3.5 + 4.5 - 1$

Этап 1.3.8

Добавим $- 3.5$ и $4.5$ .

$1 - 1$

Этап 1.3.9

Вычтем $1$ из $1$ .

$0$

Этап 1.4

Поскольку $- 0.5$ — известный корень, разделим многочлен на $2 x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{6 x^{3} - 11 x^{2} - 9 x - 1}{2 x + 1}$

Этап 1.5

Разделим $6 x^{3} - 11 x^{2} - 9 x - 1$ на $2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x$

$1$

$6 x^{3}$

$11 x^{2}$

$9 x$

$1$

Этап 1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $6 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

					$3 x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$6 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$9 x$	-	$1$

Этап 1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$6 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$9 x$	-	$1$
			+	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Этап 1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $6 x^{3} + 3 x^{2}$ .

				$3 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$6 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$9 x$	-	$1$
			-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Этап 1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$6 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$9 x$	-	$1$
			-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$14 x^{2}$

Этап 1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$3 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$6 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$9 x$	-	$1$
			-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	-	$9 x$

Этап 1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 14 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$3 x^{2}$	-	$7 x$
$2 x$	+	$1$		$6 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$9 x$	-	$1$
			-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	-	$9 x$

Этап 1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{2}$	-	$7 x$
$2 x$	+	$1$		$6 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$9 x$	-	$1$
			-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	-	$9 x$
					-	$14 x^{2}$	-	$7 x$

Этап 1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 14 x^{2} - 7 x$ .

				$3 x^{2}$	-	$7 x$
$2 x$	+	$1$		$6 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$9 x$	-	$1$
			-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$14 x^{2}$	+	$7 x$

Этап 1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x^{2}$	-	$7 x$
$2 x$	+	$1$		$6 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$9 x$	-	$1$
			-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$14 x^{2}$	+	$7 x$
							-	$2 x$

Этап 1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$3 x^{2}$	-	$7 x$
$2 x$	+	$1$		$6 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$9 x$	-	$1$
			-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$14 x^{2}$	+	$7 x$
							-	$2 x$	-	$1$

Этап 1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x$ .

				$3 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
$2 x$	+	$1$		$6 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$9 x$	-	$1$
			-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$14 x^{2}$	+	$7 x$
							-	$2 x$	-	$1$

Этап 1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$3 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
$2 x$	+	$1$		$6 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$9 x$	-	$1$
			-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$14 x^{2}$	+	$7 x$
							-	$2 x$	-	$1$
							-	$2 x$	-	$1$

Этап 1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x - 1$ .

				$3 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
$2 x$	+	$1$		$6 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$9 x$	-	$1$
			-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$14 x^{2}$	+	$7 x$
							-	$2 x$	-	$1$
							+	$2 x$	+	$1$

Этап 1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$3 x^{2}$	-	$7 x$	-	$1$
$2 x$	+	$1$		$6 x^{3}$	-	$11 x^{2}$	-	$9 x$	-	$1$
			-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$14 x^{2}$	-	$9 x$
					+	$14 x^{2}$	+	$7 x$
							-	$2 x$	-	$1$
							+	$2 x$	+	$1$
										$0$

Этап 1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$3 x^{2} - 7 x - 1$

Этап 1.6

Запишем $6 x^{3} - 11 x^{2} - 9 x - 1$ в виде набора множителей.

$(2 x + 1) (3 x^{2} - 7 x - 1) = 0$

Этап 2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$3 x^{2} - 7 x - 1 = 0$

Этап 3

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Приравняем $2 x + 1$ к $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Этап 3.2

Решим $2 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 1$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Этап 3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 4

Приравняем $3 x^{2} - 7 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Приравняем $3 x^{2} - 7 x - 1$ к $0$ .

$3 x^{2} - 7 x - 1 = 0$

Этап 4.2

Решим $3 x^{2} - 7 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4.2.2

Подставим значения $a = 3$ , $b = - 7$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 1)}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Возведем $- 7$ в степень $2$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.3.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 1$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 12}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.3.1.3

Добавим $49$ и $12$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{61}}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x = \frac{7 \pm \sqrt{61}}{6}$

Этап 4.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{7 + \sqrt{61}}{6}, \frac{7 - \sqrt{61}}{6}$

Этап 5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x + 1) (3 x^{2} - 7 x - 1) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{7 + \sqrt{61}}{6}, \frac{7 - \sqrt{61}}{6}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{1}{2}, \frac{7 + \sqrt{61}}{6}, \frac{7 - \sqrt{61}}{6}$

Десятичная форма:

$x = - 0.5, 2.46837494 \dots, - 0.13504161 \dots$

Этап 7