Основы мат. анализа Примеры

$\sin (2 x) \sin (x) = \cos (x)$

Этап 1

Вычтем $\cos (x)$ из обеих частей уравнения.

$\sin (2 x) \sin (x) - \cos (x) = 0$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим формулу двойного угла для синуса.

$2 \sin (x) \cos (x) \sin (x) - \cos (x) = 0$

Этап 2.2

Умножим $2 \sin (x) \cos (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$2 (\sin (x) \sin (x)) \cos (x) - \cos (x) = 0$

Этап 2.2.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$2 (\sin (x) \sin (x)) \cos (x) - \cos (x) = 0$

Этап 2.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x) - \cos (x) = 0$

Этап 2.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \sin^{2} (x) \cos (x) - \cos (x) = 0$

Этап 3

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $2 \sin^{2} (x) \cos (x) - \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $2 \sin^{2} (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin^{2} (x)) - \cos (x) = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $- \cos (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin^{2} (x)) + \cos (x) \cdot - 1 = 0$

Этап 3.3

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos (x) (2 \sin^{2} (x)) + \cos (x) \cdot - 1$ .

$\cos (x) (2 \sin^{2} (x) - 1) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (x) = 0$

$2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 5

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ .

$\cos (x) = 0$

Этап 5.2

Решим $\cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 5.2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 5.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 5.2.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 5.2.5

Найдем период $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.6

Период функции $\cos (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $2 \sin^{2} (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $2 \sin^{2} (x) - 1$ к $0$ .

$2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

Этап 6.2

Решим $2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 \sin^{2} (x) = 1$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $2 \sin^{2} (x) = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $2 \sin^{2} (x) = 1$ на $2$ .

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $\sin^{2} (x)$ на $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Этап 6.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Этап 6.2.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Этап 6.2.4.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Этап 6.2.4.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 6.2.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 6.2.4.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 6.2.4.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 6.2.4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 6.2.4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 6.2.4.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 6.2.4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 6.2.4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.2.4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 6.2.4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 6.2.4.4.6.5

Найдем экспоненту.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 6.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 6.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 6.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 6.2.6

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 6.2.7

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 6.2.7.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.2.1

Точное значение $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 6.2.7.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{4}$

Этап 6.2.7.4

Упростим $π - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.4.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 6.2.7.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.4.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 6.2.7.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 6.2.7.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.4.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 6.2.7.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 6.2.7.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2.7.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.2.7.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.2.7.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.2.7.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6.2.8

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 6.2.8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.2.1

Точное значение $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ : $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Этап 6.2.8.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Этап 6.2.8.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Этап 6.2.8.4.2

Результирующий угол $\frac{5 π}{4}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{4} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 6.2.8.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2.8.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.2.8.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.2.8.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.2.8.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Этап 6.2.8.6.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 6.2.8.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.6.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 6.2.8.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 6.2.8.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.6.4.1

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Этап 6.2.8.6.4.2

Вычтем $π$ из $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Этап 6.2.8.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{7 π}{4}$

Этап 6.2.8.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6.2.9

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6.2.10

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $\cos (x) (2 \sin^{2} (x) - 1) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим $\frac{π}{2} + 2 π n$ и $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ в $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$

Этап 9