Основы мат. анализа Примеры

$g (x) = 8 x^{5} + 18 x^{4} - 5 x^{3} - 72 x^{2} - 162 x + 45$

Этап 1

Приравняем $8 x^{5} + 18 x^{4} - 5 x^{3} - 72 x^{2} - 162 x + 45$ к $0$ .

$8 x^{5} + 18 x^{4} - 5 x^{3} - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$8 x^{5} + 18 x^{4} - 5 x^{3} - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $8 x^{5} + 18 x^{4} - 5 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $8 x^{5}$ .

$x^{3} (8 x^{2}) + 18 x^{4} - 5 x^{3} - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $18 x^{4}$ .

$x^{3} (8 x^{2}) + x^{3} (18 x) - 5 x^{3} - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $x^{3}$ из $- 5 x^{3}$ .

$x^{3} (8 x^{2}) + x^{3} (18 x) + x^{3} \cdot - 5 - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Этап 2.1.2.4

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} (8 x^{2}) + x^{3} (18 x)$ .

$x^{3} (8 x^{2} + 18 x) + x^{3} \cdot - 5 - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Этап 2.1.2.5

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} (8 x^{2} + 18 x) + x^{3} \cdot - 5$ .

$x^{3} (8 x^{2} + 18 x - 5) - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Этап 2.1.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 8 \cdot - 5 = - 40$ , а сумма — $b = 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1.1

Вынесем множитель $18$ из $18 x$ .

$x^{3} (8 x^{2} + 18 (x) - 5) - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Этап 2.1.3.1.1.2

Запишем $18$ как $- 2$ плюс $20$

$x^{3} (8 x^{2} + (- 2 + 20) x - 5) - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Этап 2.1.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} (8 x^{2} - 2 x + 20 x - 5) - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Этап 2.1.3.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$x^{3} ((8 x^{2} - 2 x) + 20 x - 5) - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Этап 2.1.3.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x^{3} (2 x (4 x - 1) + 5 (4 x - 1)) - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Этап 2.1.3.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 x - 1$ .

$x^{3} ((4 x - 1) (2 x + 5)) - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Этап 2.1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) - 72 x^{2} - 162 x + 45 = 0$

Этап 2.1.4

Вынесем множитель $9$ из $- 72 x^{2} - 162 x + 45$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Вынесем множитель $9$ из $- 72 x^{2}$ .

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 (- 8 x^{2}) - 162 x + 45 = 0$

Этап 2.1.4.2

Вынесем множитель $9$ из $- 162 x$ .

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 (- 8 x^{2}) + 9 (- 18 x) + 45 = 0$

Этап 2.1.4.3

Вынесем множитель $9$ из $45$ .

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 (- 8 x^{2}) + 9 (- 18 x) + 9 (5) = 0$

Этап 2.1.4.4

Вынесем множитель $9$ из $9 (- 8 x^{2}) + 9 (- 18 x)$ .

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 (- 8 x^{2} - 18 x) + 9 (5) = 0$

Этап 2.1.4.5

Вынесем множитель $9$ из $9 (- 8 x^{2} - 18 x) + 9 (5)$ .

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 (- 8 x^{2} - 18 x + 5) = 0$

Этап 2.1.5

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 8 \cdot 5 = - 40$ , а сумма — $b = - 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.1.1

Вынесем множитель $- 18$ из $- 18 x$ .

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 (- 8 x^{2} - 18 x + 5) = 0$

Этап 2.1.5.1.1.2

Запишем $- 18$ как $2$ плюс $- 20$

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 (- 8 x^{2} + (2 - 20) x + 5) = 0$

Этап 2.1.5.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 (- 8 x^{2} + 2 x - 20 x + 5) = 0$

Этап 2.1.5.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 ((- 8 x^{2} + 2 x) - 20 x + 5) = 0$

Этап 2.1.5.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 (2 x (- 4 x + 1) + 5 (- 4 x + 1)) = 0$

Этап 2.1.5.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 4 x + 1$ .

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 ((- 4 x + 1) (2 x + 5)) = 0$

Этап 2.1.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 (- 4 x + 1) (2 x + 5) = 0$

Этап 2.1.6

Вынесем множитель $2 x + 5$ из $x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5) + 9 (- 4 x + 1) (2 x + 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Вынесем множитель $2 x + 5$ из $x^{3} (4 x - 1) (2 x + 5)$ .

$(2 x + 5) (x^{3} (4 x - 1)) + 9 (- 4 x + 1) (2 x + 5) = 0$

Этап 2.1.6.2

Вынесем множитель $2 x + 5$ из $9 (- 4 x + 1) (2 x + 5)$ .

$(2 x + 5) (x^{3} (4 x - 1)) + (2 x + 5) (9 (- 4 x + 1)) = 0$

Этап 2.1.6.3

Вынесем множитель $2 x + 5$ из $(2 x + 5) (x^{3} (4 x - 1)) + (2 x + 5) (9 (- 4 x + 1))$ .

$(2 x + 5) (x^{3} (4 x - 1) + 9 (- 4 x + 1)) = 0$

Этап 2.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x + 5) (x^{3} (4 x) + x^{3} \cdot - 1 + 9 (- 4 x + 1)) = 0$

Этап 2.1.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(2 x + 5) (4 x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 + 9 (- 4 x + 1)) = 0$

Этап 2.1.9

Перенесем $- 1$ влево от $x^{3}$ .

$(2 x + 5) (4 x^{3} x - 1 \cdot x^{3} + 9 (- 4 x + 1)) = 0$

Этап 2.1.10

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1.1

Перенесем $x$ .

$(2 x + 5) (4 (x \cdot x^{3}) - 1 \cdot x^{3} + 9 (- 4 x + 1)) = 0$

Этап 2.1.10.1.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(2 x + 5) (4 (x \cdot x^{3}) - 1 \cdot x^{3} + 9 (- 4 x + 1)) = 0$

Этап 2.1.10.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(2 x + 5) (4 x^{1 + 3} - 1 \cdot x^{3} + 9 (- 4 x + 1)) = 0$

Этап 2.1.10.1.3

Добавим $1$ и $3$ .

$(2 x + 5) (4 x^{4} - 1 \cdot x^{3} + 9 (- 4 x + 1)) = 0$

$(2 x + 5) (4 x^{4} - 1 x^{3} + 9 (- 4 x + 1)) = 0$

Этап 2.1.10.2

Перепишем $- 1 x^{3}$ в виде $- x^{3}$ .

$(2 x + 5) (4 x^{4} - x^{3} + 9 (- 4 x + 1)) = 0$

Этап 2.1.11

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x + 5) (4 x^{4} - x^{3} + 9 (- 4 x) + 9 \cdot 1) = 0$

Этап 2.1.12

Умножим $- 4$ на $9$ .

$(2 x + 5) (4 x^{4} - x^{3} - 36 x + 9 \cdot 1) = 0$

Этап 2.1.13

Умножим $9$ на $1$ .

$(2 x + 5) (4 x^{4} - x^{3} - 36 x + 9) = 0$

Этап 2.1.14

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.14.1

Перепишем $4 x^{4} - x^{3} - 36 x + 9$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.14.1.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.14.1.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 x + 5) ((4 x^{4} - x^{3}) - 36 x + 9) = 0$

Этап 2.1.14.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(2 x + 5) (x^{3} (4 x - 1) - 9 (4 x - 1)) = 0$

Этап 2.1.14.1.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 x - 1$ .

$(2 x + 5) ((4 x - 1) (x^{3} - 9)) = 0$

Этап 2.1.14.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(2 x + 5) (4 x - 1) (x^{3} - 9) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x + 5 = 0$

$4 x - 1 = 0$

$x^{3} - 9 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $2 x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $2 x + 5$ к $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Этап 2.3.2

Решим $2 x + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 5$

Этап 2.3.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 2.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 2.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Этап 2.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5}{2}$

Этап 2.4

Приравняем $4 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $4 x - 1$ к $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $4 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 1$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $4 x = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $4 x = 1$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Этап 2.5

Приравняем $x^{3} - 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x^{3} - 9$ к $0$ .

$x^{3} - 9 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $x^{3} - 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $9$ к обеим частям уравнения.

$x^{3} = 9$

Этап 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{9}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x + 5) (4 x - 1) (x^{3} - 9) = 0$ верно.

$x = - \frac{5}{2}, \frac{1}{4}, \sqrt[3]{9}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{5}{2}, \frac{1}{4}, \sqrt[3]{9}$

Десятичная форма:

$x = - 2.5, 0.25, 2.08008382 \dots$

Форма смешанных чисел:

$x = - 2 \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \sqrt[3]{9}$

Этап 4