Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - \cos (2 x) + \cos^{2} (x)$

Этап 1

Приравняем $- \cos (2 x) + \cos^{2} (x)$ к $0$ .

$- \cos (2 x) + \cos^{2} (x) = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- (1 - 2 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $- (1 - 2 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 \cdot 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

Этап 2.2.1.1.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) + \cos^{2} (x) = 0$

Этап 2.2.1.1.1.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$- 1 + 2 \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 0$

Этап 2.2.1.1.2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Перенесем $\cos^{2} (x)$ .

$- 1 + \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 2.2.1.1.2.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$- 1 (1) + \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 2.2.1.1.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $\cos^{2} (x)$ .

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 2.2.1.1.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$- 1 (1 - \cos^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 2.2.1.1.2.5

Перепишем $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ в виде $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$- (1 - \cos^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 2.2.1.2

Применим формулу Пифагора.

$- \sin^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 2.2.1.3

Добавим $- \sin^{2} (x)$ и $2 \sin^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sin (x) = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.3.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.3.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\sin (x) = \pm 0$

Этап 2.3.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 2.3.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 2.3.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 2.3.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 2.3.6

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 2.3.7

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.3.7.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 2.3.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 2.3.7.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 2.3.8

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.4

Объединим ответы.

$x = π n$ , для любого целого $n$

Этап 3