Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 3 x^{4} + x^{2} - 1$

Этап 1

Приравняем $3 x^{4} + x^{2} - 1$ к $0$ .

$3 x^{4} + x^{2} - 1 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$3 u^{2} + u - 1 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 2.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.3

Подставим значения $a = 3$ , $b = 1$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 1)}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.4.1.2.2

Умножим $- 12$ на $- 1$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.4.1.3

Добавим $1$ и $12$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

Этап 2.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{13}}{6}$

Этап 2.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = - \frac{1 - \sqrt{13}}{6}, - \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$

Этап 2.6

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = 0.43425854$

${(x^{2})}^{1} = - 0.76759187$

Этап 2.7

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 0.43425854$

Этап 2.8

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0.43425854}$

Этап 2.8.2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{0.43425854}$

Этап 2.8.2.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{0.43425854}$

Этап 2.8.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{0.43425854}, - \sqrt{0.43425854}$

Этап 2.9

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 0.76759187$

Этап 2.10

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = - 0.76759187$

Этап 2.10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 0.76759187}$

Этап 2.10.3

Упростим $\pm \sqrt{- 0.76759187}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1

Перепишем $- 0.76759187$ в виде $- 1 (0.76759187)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (0.76759187)}$

Этап 2.10.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (0.76759187)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{0.76759187}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{0.76759187}$

Этап 2.10.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{0.76759187}$

Этап 2.10.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{0.76759187}$

Этап 2.10.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{0.76759187}$

Этап 2.10.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{0.76759187}, - i \sqrt{0.76759187}$

Этап 2.11

Решением $3 x^{4} + x^{2} - 1 = 0$ является $x = \sqrt{0.43425854}, - \sqrt{0.43425854}, i \sqrt{0.76759187}, - i \sqrt{0.76759187}$ .

$x = \sqrt{0.43425854}, - \sqrt{0.43425854}, i \sqrt{0.76759187}, - i \sqrt{0.76759187}$

Этап 3