Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 4 x^{4} - 21 x^{2} + 5$

Этап 1

Приравняем $4 x^{4} - 21 x^{2} + 5$ к $0$ .

$4 x^{4} - 21 x^{2} + 5 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$4 u^{2} - 21 u + 5 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 2.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 5 = 20$ , а сумма — $b = - 21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $- 21$ из $- 21 u$ .

$4 u^{2} - 21 u + 5 = 0$

Этап 2.2.1.2

Запишем $- 21$ как $- 1$ плюс $- 20$

$4 u^{2} + (- 1 - 20) u + 5 = 0$

Этап 2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 u^{2} - 1 u - 20 u + 5 = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(4 u^{2} - 1 u) - 20 u + 5 = 0$

Этап 2.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (4 u - 1) - 5 (4 u - 1) = 0$

Этап 2.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 5) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$4 u - 1 = 0$

$u - 5 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $4 u - 1$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $4 u - 1$ к $0$ .

$4 u - 1 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $4 u - 1 = 0$ относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$4 u = 1$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $4 u = 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $4 u = 1$ на $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Этап 2.4.2.2.2.1.2

Разделим $u$ на $1$ .

$u = \frac{1}{4}$

Этап 2.5

Приравняем $u - 5$ к $0$ , затем решим относительно $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $u - 5$ к $0$ .

$u - 5 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$u = 5$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(4 u - 1) (u - 5) = 0$ верно.

$u = \frac{1}{4}, 5$

Этап 2.7

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = 5$

Этап 2.8

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Этап 2.9

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Этап 2.9.2

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Этап 2.9.2.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Этап 2.9.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.2.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 2.9.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Этап 2.9.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 2.9.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{1}{2}$

Этап 2.9.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Этап 2.10

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 5$

Этап 2.11

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = 5$

Этап 2.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Этап 2.11.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{5}$

Этап 2.11.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{5}$

Этап 2.11.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Этап 2.12

Решением $4 x^{4} - 21 x^{2} + 5 = 0$ является $x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$ .

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Десятичная форма:

$x = 0.5, - 0.5, 2.23606797 \dots, - 2.23606797 \dots$

Этап 4