Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 4 x^{5} + 12 x^{4} - 11 x^{3} - 42 x^{2} + 7 x + 30$

Этап 1

Приравняем $4 x^{5} + 12 x^{4} - 11 x^{3} - 42 x^{2} + 7 x + 30$ к $0$ .

$4 x^{5} + 12 x^{4} - 11 x^{3} - 42 x^{2} + 7 x + 30 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$4 x^{5} - 11 x^{3} + 7 x + 12 x^{4} - 42 x^{2} + 30 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $4 x^{5} - 11 x^{3} + 7 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $4 x^{5}$ .

$x (4 x^{4}) - 11 x^{3} + 7 x + 12 x^{4} - 42 x^{2} + 30 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 11 x^{3}$ .

$x (4 x^{4}) + x (- 11 x^{2}) + 7 x + 12 x^{4} - 42 x^{2} + 30 = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $x$ из $7 x$ .

$x (4 x^{4}) + x (- 11 x^{2}) + x \cdot 7 + 12 x^{4} - 42 x^{2} + 30 = 0$

Этап 2.1.2.4

Вынесем множитель $x$ из $x (4 x^{4}) + x (- 11 x^{2})$ .

$x (4 x^{4} - 11 x^{2}) + x \cdot 7 + 12 x^{4} - 42 x^{2} + 30 = 0$

Этап 2.1.2.5

Вынесем множитель $x$ из $x (4 x^{4} - 11 x^{2}) + x \cdot 7$ .

$x (4 x^{4} - 11 x^{2} + 7) + 12 x^{4} - 42 x^{2} + 30 = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (4 {(x^{2})}^{2} - 11 x^{2} + 7) + 12 x^{4} - 42 x^{2} + 30 = 0$

Этап 2.1.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$x (4 u^{2} - 11 u + 7) + 12 x^{4} - 42 x^{2} + 30 = 0$

Этап 2.1.5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot 7 = 28$ , а сумма — $b = - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1.1

Вынесем множитель $- 11$ из $- 11 u$ .

$x (4 u^{2} - 11 u + 7) + 12 x^{4} - 42 x^{2} + 30 = 0$

Этап 2.1.5.1.2

Запишем $- 11$ как $- 4$ плюс $- 7$

$x (4 u^{2} + (- 4 - 7) u + 7) + 12 x^{4} - 42 x^{2} + 30 = 0$

Этап 2.1.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (4 u^{2} - 4 u - 7 u + 7) + 12 x^{4} - 42 x^{2} + 30 = 0$

Этап 2.1.5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$x ((4 u^{2} - 4 u) - 7 u + 7) + 12 x^{4} - 42 x^{2} + 30 = 0$

Этап 2.1.5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (4 u (u - 1) - 7 (u - 1)) + 12 x^{4} - 42 x^{2} + 30 = 0$

Этап 2.1.5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $u - 1$ .

$x ((u - 1) (4 u - 7)) + 12 x^{4} - 42 x^{2} + 30 = 0$

Этап 2.1.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 1) (4 x^{2} - 7)) + 12 x^{4} - 42 x^{2} + 30 = 0$

Этап 2.1.7

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x ((x^{2} - 1^{2}) (4 x^{2} - 7)) + 12 x^{4} - 42 x^{2} + 30 = 0$

Этап 2.1.8

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$x ((x + 1) (x - 1) (4 x^{2} - 7)) + 12 x^{4} - 42 x^{2} + 30 = 0$

Этап 2.1.8.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x + 1) (x - 1) (4 x^{2} - 7) + 12 x^{4} - 42 x^{2} + 30 = 0$

Этап 2.1.9

Вынесем множитель $6$ из $12 x^{4} - 42 x^{2} + 30$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Вынесем множитель $6$ из $12 x^{4}$ .

$x (x + 1) (x - 1) (4 x^{2} - 7) + 6 (2 x^{4}) - 42 x^{2} + 30 = 0$

Этап 2.1.9.2

Вынесем множитель $6$ из $- 42 x^{2}$ .

$x (x + 1) (x - 1) (4 x^{2} - 7) + 6 (2 x^{4}) + 6 (- 7 x^{2}) + 30 = 0$

Этап 2.1.9.3

Вынесем множитель $6$ из $30$ .

$x (x + 1) (x - 1) (4 x^{2} - 7) + 6 (2 x^{4}) + 6 (- 7 x^{2}) + 6 (5) = 0$

Этап 2.1.9.4

Вынесем множитель $6$ из $6 (2 x^{4}) + 6 (- 7 x^{2})$ .

$x (x + 1) (x - 1) (4 x^{2} - 7) + 6 (2 x^{4} - 7 x^{2}) + 6 (5) = 0$

Этап 2.1.9.5

Вынесем множитель $6$ из $6 (2 x^{4} - 7 x^{2}) + 6 (5)$ .

$x (x + 1) (x - 1) (4 x^{2} - 7) + 6 (2 x^{4} - 7 x^{2} + 5) = 0$

Этап 2.1.10

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x + 1) (x - 1) (4 x^{2} - 7) + 6 (2 {(x^{2})}^{2} - 7 x^{2} + 5) = 0$

Этап 2.1.11

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$x (x + 1) (x - 1) (4 x^{2} - 7) + 6 (2 u^{2} - 7 u + 5) = 0$

Этап 2.1.12

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 5 = 10$ , а сумма — $b = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1.1

Вынесем множитель $- 7$ из $- 7 u$ .

$x (x + 1) (x - 1) (4 x^{2} - 7) + 6 (2 u^{2} - 7 u + 5) = 0$

Этап 2.1.12.1.2

Запишем $- 7$ как $- 2$ плюс $- 5$

$x (x + 1) (x - 1) (4 x^{2} - 7) + 6 (2 u^{2} + (- 2 - 5) u + 5) = 0$

Этап 2.1.12.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x + 1) (x - 1) (4 x^{2} - 7) + 6 (2 u^{2} - 2 u - 5 u + 5) = 0$

Этап 2.1.12.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$x (x + 1) (x - 1) (4 x^{2} - 7) + 6 ((2 u^{2} - 2 u) - 5 u + 5) = 0$

Этап 2.1.12.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (x + 1) (x - 1) (4 x^{2} - 7) + 6 (2 u (u - 1) - 5 (u - 1)) = 0$

Этап 2.1.12.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $u - 1$ .

$x (x + 1) (x - 1) (4 x^{2} - 7) + 6 ((u - 1) (2 u - 5)) = 0$

Этап 2.1.13

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x (x + 1) (x - 1) (4 x^{2} - 7) + 6 ((x^{2} - 1) (2 x^{2} - 5)) = 0$

Этап 2.1.14

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x (x + 1) (x - 1) (4 x^{2} - 7) + 6 ((x^{2} - 1^{2}) (2 x^{2} - 5)) = 0$

Этап 2.1.15

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.15.1

$x (x + 1) (x - 1) (4 x^{2} - 7) + 6 ((x + 1) (x - 1) (2 x^{2} - 5)) = 0$

Этап 2.1.15.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x + 1) (x - 1) (4 x^{2} - 7) + 6 (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} - 5) = 0$

Этап 2.1.16

Вынесем множитель $(x + 1) (x - 1)$ из $x (x + 1) (x - 1) (4 x^{2} - 7) + 6 (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} - 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.16.1

Вынесем множитель $(x + 1) (x - 1)$ из $x (x + 1) (x - 1) (4 x^{2} - 7)$ .

$(x + 1) (x - 1) ((x) (4 x^{2} - 7)) + 6 (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} - 5) = 0$

Этап 2.1.16.2

Вынесем множитель $(x + 1) (x - 1)$ из $6 (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} - 5)$ .

$(x + 1) (x - 1) ((x) (4 x^{2} - 7)) + (x + 1) (x - 1) ((6) (2 x^{2} - 5)) = 0$

Этап 2.1.16.3

Вынесем множитель $(x + 1) (x - 1)$ из $(x + 1) (x - 1) ((x) (4 x^{2} - 7)) + (x + 1) (x - 1) ((6) (2 x^{2} - 5))$ .

$(x + 1) (x - 1) ((x) (4 x^{2} - 7) + (6) (2 x^{2} - 5)) = 0$

Этап 2.1.17

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 1) (x - 1) (x (4 x^{2}) + x \cdot - 7 + (6) (2 x^{2} - 5)) = 0$

Этап 2.1.18

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(x + 1) (x - 1) (4 x \cdot x^{2} + x \cdot - 7 + (6) (2 x^{2} - 5)) = 0$

Этап 2.1.19

Перенесем $- 7$ влево от $x$ .

$(x + 1) (x - 1) (4 x \cdot x^{2} - 7 \cdot x + (6) (2 x^{2} - 5)) = 0$

Этап 2.1.20

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.20.1

Перенесем $x^{2}$ .

$(x + 1) (x - 1) (4 (x^{2} x) - 7 \cdot x + (6) (2 x^{2} - 5)) = 0$

Этап 2.1.20.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.20.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x + 1) (x - 1) (4 (x^{2} x) - 7 \cdot x + (6) (2 x^{2} - 5)) = 0$

Этап 2.1.20.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x + 1) (x - 1) (4 x^{2 + 1} - 7 \cdot x + (6) (2 x^{2} - 5)) = 0$

Этап 2.1.20.3

Добавим $2$ и $1$ .

$(x + 1) (x - 1) (4 x^{3} - 7 \cdot x + (6) (2 x^{2} - 5)) = 0$

$(x + 1) (x - 1) (4 x^{3} - 7 x + (6) (2 x^{2} - 5)) = 0$

Этап 2.1.21

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 1) (x - 1) (4 x^{3} - 7 x + 6 (2 x^{2}) + 6 \cdot - 5) = 0$

Этап 2.1.22

Умножим $2$ на $6$ .

$(x + 1) (x - 1) (4 x^{3} - 7 x + 12 x^{2} + 6 \cdot - 5) = 0$

Этап 2.1.23

Умножим $6$ на $- 5$ .

$(x + 1) (x - 1) (4 x^{3} - 7 x + 12 x^{2} - 30) = 0$

Этап 2.1.24

Изменим порядок членов.

$(x + 1) (x - 1) (4 x^{3} + 12 x^{2} - 7 x - 30) = 0$

Этап 2.1.25

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.25.1

Перепишем $4 x^{3} + 12 x^{2} - 7 x - 30$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.25.1.1

Разложим $4 x^{3} + 12 x^{2} - 7 x - 30$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.25.1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 2.1.25.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 30, \pm 7.5, \pm 15, \pm 2, \pm 3.75, \pm 3, \pm 0.75, \pm 1.5, \pm 10, \pm 2.5, \pm 5, \pm 1.25, \pm 6$

Этап 2.1.25.1.1.3

Подставим $- 2$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 2$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.25.1.1.3.1

Подставим $- 2$ в многочлен.

$4 {(- 2)}^{3} + 12 {(- 2)}^{2} - 7 \cdot - 2 - 30$

Этап 2.1.25.1.1.3.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$4 \cdot - 8 + 12 {(- 2)}^{2} - 7 \cdot - 2 - 30$

Этап 2.1.25.1.1.3.3

Умножим $4$ на $- 8$ .

$- 32 + 12 {(- 2)}^{2} - 7 \cdot - 2 - 30$

Этап 2.1.25.1.1.3.4

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$- 32 + 12 \cdot 4 - 7 \cdot - 2 - 30$

Этап 2.1.25.1.1.3.5

Умножим $12$ на $4$ .

$- 32 + 48 - 7 \cdot - 2 - 30$

Этап 2.1.25.1.1.3.6

Добавим $- 32$ и $48$ .

$16 - 7 \cdot - 2 - 30$

Этап 2.1.25.1.1.3.7

Умножим $- 7$ на $- 2$ .

$16 + 14 - 30$

Этап 2.1.25.1.1.3.8

Добавим $16$ и $14$ .

$30 - 30$

Этап 2.1.25.1.1.3.9

Вычтем $30$ из $30$ .

$0$

Этап 2.1.25.1.1.4

Поскольку $- 2$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 2$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{4 x^{3} + 12 x^{2} - 7 x - 30}{x + 2}$

Этап 2.1.25.1.1.5

Разделим $4 x^{3} + 12 x^{2} - 7 x - 30$ на $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.25.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$2$

$4 x^{3}$

$12 x^{2}$

$7 x$

$30$

Этап 2.1.25.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$4 x^{2}$
	$x$	+	$2$		$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$7 x$	-	$30$

Этап 2.1.25.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$2$		$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$7 x$	-	$30$
			+	$4 x^{3}$	+	$8 x^{2}$

Этап 2.1.25.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{3} + 8 x^{2}$ .

				$4 x^{2}$
$x$	+	$2$		$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$7 x$	-	$30$
			-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$

Этап 2.1.25.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$2$		$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$7 x$	-	$30$
			-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Этап 2.1.25.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$4 x^{2}$
$x$	+	$2$		$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$7 x$	-	$30$
			-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$7 x$

Этап 2.1.25.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $4 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$2$		$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$7 x$	-	$30$
			-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$7 x$

Этап 2.1.25.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$2$		$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$7 x$	-	$30$
			-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$8 x$

Этап 2.1.25.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $4 x^{2} + 8 x$ .

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$2$		$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$7 x$	-	$30$
			-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$8 x$

Этап 2.1.25.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$2$		$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$7 x$	-	$30$
			-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$15 x$

Этап 2.1.25.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$x$	+	$2$		$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$7 x$	-	$30$
			-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$15 x$	-	$30$

Этап 2.1.25.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 15 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
$x$	+	$2$		$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$7 x$	-	$30$
			-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$15 x$	-	$30$

Этап 2.1.25.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
$x$	+	$2$		$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$7 x$	-	$30$
			-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$15 x$	-	$30$
							-	$15 x$	-	$30$

Этап 2.1.25.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 15 x - 30$ .

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
$x$	+	$2$		$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$7 x$	-	$30$
			-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$15 x$	-	$30$
							+	$15 x$	+	$30$

Этап 2.1.25.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$15$
$x$	+	$2$		$4 x^{3}$	+	$12 x^{2}$	-	$7 x$	-	$30$
			-	$4 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							-	$15 x$	-	$30$
							+	$15 x$	+	$30$
										$0$

Этап 2.1.25.1.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$4 x^{2} + 4 x - 15$

Этап 2.1.25.1.1.6

Запишем $4 x^{3} + 12 x^{2} - 7 x - 30$ в виде набора множителей.

$(x + 1) (x - 1) ((x + 2) (4 x^{2} + 4 x - 15)) = 0$

Этап 2.1.25.1.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.25.1.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.25.1.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 4 \cdot - 15 = - 60$ , а сумма — $b = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.25.1.2.1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$(x + 1) (x - 1) ((x + 2) (4 x^{2} + 4 (x) - 15)) = 0$

Этап 2.1.25.1.2.1.1.2

Запишем $4$ как $- 6$ плюс $10$

$(x + 1) (x - 1) ((x + 2) (4 x^{2} + (- 6 + 10) x - 15)) = 0$

Этап 2.1.25.1.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 1) (x - 1) ((x + 2) (4 x^{2} - 6 x + 10 x - 15)) = 0$

Этап 2.1.25.1.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.25.1.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 1) (x - 1) ((x + 2) ((4 x^{2} - 6 x) + 10 x - 15)) = 0$

Этап 2.1.25.1.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 1) (x - 1) ((x + 2) (2 x (2 x - 3) + 5 (2 x - 3))) = 0$

Этап 2.1.25.1.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 3$ .

$(x + 1) (x - 1) ((x + 2) ((2 x - 3) (2 x + 5))) = 0$

Этап 2.1.25.1.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 1) (x - 1) ((x + 2) (2 x - 3) (2 x + 5)) = 0$

Этап 2.1.25.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 1) (x - 1) (x + 2) (2 x - 3) (2 x + 5) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$2 x - 3 = 0$

$2 x + 5 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.6

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $2 x - 3$ к $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Этап 2.6.2

Решим $2 x - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 3$

Этап 2.6.2.2

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 2.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 2.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Этап 2.7

Приравняем $2 x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Приравняем $2 x + 5$ к $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Этап 2.7.2

Решим $2 x + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$2 x = - 5$

Этап 2.7.2.2

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = - 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 2.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Этап 2.7.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Этап 2.7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{5}{2}$

Этап 2.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (x - 1) (x + 2) (2 x - 3) (2 x + 5) = 0$ верно.

$x = - 1, 1, - 2, \frac{3}{2}, - \frac{5}{2}$

Этап 3