Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 2 x^{4} - 15 x^{3} + 23 x^{2} + 15 x - 25$

Этап 1

Приравняем $2 x^{4} - 15 x^{3} + 23 x^{2} + 15 x - 25$ к $0$ .

$2 x^{4} - 15 x^{3} + 23 x^{2} + 15 x - 25 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$- 15 x^{3} + 15 x + 2 x^{4} + 23 x^{2} - 25 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $- 15 x$ из $- 15 x^{3} + 15 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $- 15 x$ из $- 15 x^{3}$ .

$- 15 x \cdot x^{2} + 15 x + 2 x^{4} + 23 x^{2} - 25 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $- 15 x$ из $15 x$ .

$- 15 x \cdot x^{2} - 15 x \cdot - 1 + 2 x^{4} + 23 x^{2} - 25 = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $- 15 x$ из $- 15 x (x^{2}) - 15 x (- 1)$ .

$- 15 x (x^{2} - 1) + 2 x^{4} + 23 x^{2} - 25 = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- 15 x (x^{2} - 1^{2}) + 2 x^{4} + 23 x^{2} - 25 = 0$

Этап 2.1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$- 15 x ((x + 1) (x - 1)) + 2 x^{4} + 23 x^{2} - 25 = 0$

Этап 2.1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 15 x (x + 1) (x - 1) + 2 x^{4} + 23 x^{2} - 25 = 0$

Этап 2.1.5

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 15 x (x + 1) (x - 1) + 2 {(x^{2})}^{2} + 23 x^{2} - 25 = 0$

Этап 2.1.6

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- 15 x (x + 1) (x - 1) + 2 u^{2} + 23 u - 25 = 0$

Этап 2.1.7

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot - 25 = - 50$ , а сумма — $b = 23$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1.1

Вынесем множитель $23$ из $23 u$ .

$- 15 x (x + 1) (x - 1) + 2 u^{2} + 23 (u) - 25 = 0$

Этап 2.1.7.1.2

Запишем $23$ как $- 2$ плюс $25$

$- 15 x (x + 1) (x - 1) + 2 u^{2} + (- 2 + 25) u - 25 = 0$

Этап 2.1.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 15 x (x + 1) (x - 1) + 2 u^{2} - 2 u + 25 u - 25 = 0$

Этап 2.1.7.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- 15 x (x + 1) (x - 1) + 2 u^{2} - 2 u + 25 u - 25 = 0$

Этап 2.1.7.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- 15 x (x + 1) (x - 1) + 2 u (u - 1) + 25 (u - 1) = 0$

Этап 2.1.7.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $u - 1$ .

$- 15 x (x + 1) (x - 1) + (u - 1) (2 u + 25) = 0$

Этап 2.1.8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- 15 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1) (2 x^{2} + 25) = 0$

Этап 2.1.9

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- 15 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1^{2}) (2 x^{2} + 25) = 0$

Этап 2.1.10

$- 15 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 25) = 0$

Этап 2.1.11

Вынесем множитель $(x + 1) (x - 1)$ из $- 15 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 25)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.1

Вынесем множитель $(x + 1) (x - 1)$ из $- 15 x (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 15 x) + (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 25) = 0$

Этап 2.1.11.2

Вынесем множитель $(x + 1) (x - 1)$ из $(x + 1) (x - 1) (- 15 x) + (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 25)$ .

$(x + 1) (x - 1) (- 15 x + 2 x^{2} + 25) = 0$

Этап 2.1.12

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x + 1) (x - 1) (- 15 u + 2 u^{2} + 25) = 0$

Этап 2.1.13

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.13.1

Изменим порядок членов.

$(x + 1) (x - 1) (2 u^{2} - 15 u + 25) = 0$

Этап 2.1.13.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 25 = 50$ , а сумма — $b = - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.13.2.1

Вынесем множитель $- 15$ из $- 15 u$ .

$(x + 1) (x - 1) (2 u^{2} - 15 u + 25) = 0$

Этап 2.1.13.2.2

Запишем $- 15$ как $- 5$ плюс $- 10$

$(x + 1) (x - 1) (2 u^{2} + (- 5 - 10) u + 25) = 0$

Этап 2.1.13.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 1) (x - 1) (2 u^{2} - 5 u - 10 u + 25) = 0$

Этап 2.1.13.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.13.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 1) (x - 1) ((2 u^{2} - 5 u) - 10 u + 25) = 0$

Этап 2.1.13.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 1) (x - 1) (u (2 u - 5) - 5 (2 u - 5)) = 0$

Этап 2.1.13.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 u - 5$ .

$(x + 1) (x - 1) ((2 u - 5) (u - 5)) = 0$

Этап 2.1.14

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.14.1

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x + 1) (x - 1) ((2 x - 5) (x - 5)) = 0$

Этап 2.1.14.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 1) (x - 1) (2 x - 5) (x - 5) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

$2 x - 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.5

Приравняем $2 x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $2 x - 5$ к $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $2 x - 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 5$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $2 x = 5$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 5$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Этап 2.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Этап 2.6

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 2.6.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (x - 1) (2 x - 5) (x - 5) = 0$ верно.

$x = - 1, 1, \frac{5}{2}, 5$

Этап 3