Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = 3 x^{4} - 7 x^{3} - 3 x^{2} - 7 x - 6$

Этап 1

Приравняем $3 x^{4} - 7 x^{3} - 3 x^{2} - 7 x - 6$ к $0$ .

$3 x^{4} - 7 x^{3} - 3 x^{2} - 7 x - 6 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$- 7 x^{3} - 7 x + 3 x^{4} - 3 x^{2} - 6 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $- 7 x$ из $- 7 x^{3} - 7 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $- 7 x$ из $- 7 x^{3}$ .

$- 7 x \cdot x^{2} - 7 x + 3 x^{4} - 3 x^{2} - 6 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $- 7 x$ из $- 7 x$ .

$- 7 x \cdot x^{2} - 7 x \cdot 1 + 3 x^{4} - 3 x^{2} - 6 = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $- 7 x$ из $- 7 x (x^{2}) - 7 x (1)$ .

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 x^{4} - 3 x^{2} - 6 = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{4} - 3 x^{2} - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{4}$ .

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (x^{4}) - 3 x^{2} - 6 = 0$

Этап 2.1.3.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (x^{4}) + 3 (- x^{2}) - 6 = 0$

Этап 2.1.3.3

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (x^{4}) + 3 (- x^{2}) + 3 (- 2) = 0$

Этап 2.1.3.4

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{4}) + 3 (- x^{2})$ .

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (x^{4} - x^{2}) + 3 (- 2) = 0$

Этап 2.1.3.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{4} - x^{2}) + 3 (- 2)$ .

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (x^{4} - x^{2} - 2) = 0$

Этап 2.1.4

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 ({(x^{2})}^{2} - x^{2} - 2) = 0$

Этап 2.1.5

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (u^{2} - u - 2) = 0$

Этап 2.1.6

Разложим $u^{2} - u - 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 2$ , а сумма — $- 1$ .

$- 2, 1$

Этап 2.1.6.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 ((u - 2) (u + 1)) = 0$

Этап 2.1.7

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 ((x^{2} - 2) (x^{2} + 1)) = 0$

Этап 2.1.7.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) = 0$

Этап 2.1.8

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $- 7 x (x^{2} + 1) + 3 (x^{2} - 2) (x^{2} + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $- 7 x (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (- 7 x) + 3 (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) = 0$

Этап 2.1.8.2

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $3 (x^{2} - 2) (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (- 7 x) + (x^{2} + 1) (3 (x^{2} - 2)) = 0$

Этап 2.1.8.3

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $(x^{2} + 1) (- 7 x) + (x^{2} + 1) (3 (x^{2} - 2))$ .

$(x^{2} + 1) (- 7 x + 3 (x^{2} - 2)) = 0$

Этап 2.1.9

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} + 1) (- 7 x + 3 x^{2} + 3 \cdot - 2) = 0$

Этап 2.1.10

Умножим $3$ на $- 2$ .

$(x^{2} + 1) (- 7 x + 3 x^{2} - 6) = 0$

Этап 2.1.11

Изменим порядок членов.

$(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 7 x - 6) = 0$

Этап 2.1.12

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 6 = - 18$ , а сумма — $b = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1.1.1

Вынесем множитель $- 7$ из $- 7 x$ .

$(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 7 x - 6) = 0$

Этап 2.1.12.1.1.2

Запишем $- 7$ как $2$ плюс $- 9$

$(x^{2} + 1) (3 x^{2} + (2 - 9) x - 6) = 0$

Этап 2.1.12.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} + 1) (3 x^{2} + 2 x - 9 x - 6) = 0$

Этап 2.1.12.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x^{2} + 1) ((3 x^{2} + 2 x) - 9 x - 6) = 0$

Этап 2.1.12.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x^{2} + 1) (x (3 x + 2) - 3 (3 x + 2)) = 0$

Этап 2.1.12.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 2$ .

$(x^{2} + 1) ((3 x + 2) (x - 3)) = 0$

Этап 2.1.12.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x^{2} + 1) (3 x + 2) (x - 3) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

$3 x + 2 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x^{2} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x^{2} + 1$ к $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Этап 2.3.2

Решим $x^{2} + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 1$

Этап 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 2.3.2.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 2.3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 2.3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 2.3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 2.4

Приравняем $3 x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $3 x + 2$ к $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $3 x + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 2$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Этап 2.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2}{3}$

Этап 2.5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} + 1) (3 x + 2) (x - 3) = 0$ верно.

$x = i, - i, - \frac{2}{3}, 3$

Этап 3