Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x (x + 2) (x - 2) (3 x^{2} - 4)$

Этап 1

Приравняем $x (x + 2) (x - 2) (3 x^{2} - 4)$ к $0$ .

$x (x + 2) (x - 2) (3 x^{2} - 4) = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$3 x^{2} - 4 = 0$

Этап 2.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.5

Приравняем $3 x^{2} - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $3 x^{2} - 4$ к $0$ .

$3 x^{2} - 4 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $3 x^{2} - 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$3 x^{2} = 4$

Этап 2.5.2.2

Разделим каждый член $3 x^{2} = 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Разделим каждый член $3 x^{2} = 4$ на $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 2.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 2.5.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{3}$

Этап 2.5.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

Этап 2.5.2.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{4}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

Этап 2.5.2.4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

Этап 2.5.2.4.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

Этап 2.5.2.4.3

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 2.5.2.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.4.1

Умножим $\frac{2}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 2.5.2.4.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 2.5.2.4.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 2.5.2.4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 2.5.2.4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.4.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.5.2.4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.5.2.4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.5.2.4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 2.5.2.4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 2.5.2.4.4.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.5.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.5.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.5.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x + 2) (x - 2) (3 x^{2} - 4) = 0$ верно.

$x = 0, - 2, 2, \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 0, - 2, 2, \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

Десятичная форма:

$x = 0, - 2, 2, 1.15470053 \dots, - 1.15470053 \dots$

Этап 4