Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = \frac{1}{4} \cdot (x^{3} (x^{2} - 9))$

Этап 1

Приравняем $\frac{1}{4} \cdot (x^{3} (x^{2} - 9))$ к $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot (x^{3} (x^{2} - 9)) = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим обе части уравнения на $4$ .

$4 (\frac{1}{4} \cdot (x^{3} (x^{2} - 9))) = 4 \cdot 0$

Этап 2.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Упростим $4 (\frac{1}{4} \cdot (x^{3} (x^{2} - 9)))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (\frac{1}{4} \cdot (x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 9)) = 4 \cdot 0$

Этап 2.2.1.1.2

Умножим $x^{3}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 (\frac{1}{4} \cdot (x^{3 + 2} + x^{3} \cdot - 9)) = 4 \cdot 0$

Этап 2.2.1.1.2.2

Добавим $3$ и $2$ .

$4 (\frac{1}{4} \cdot (x^{5} + x^{3} \cdot - 9)) = 4 \cdot 0$

Этап 2.2.1.1.3

Перенесем $- 9$ влево от $x^{3}$ .

$4 (\frac{1}{4} \cdot (x^{5} - 9 \cdot x^{3})) = 4 \cdot 0$

Этап 2.2.1.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (\frac{1}{4} x^{5} + \frac{1}{4} (- 9 x^{3})) = 4 \cdot 0$

Этап 2.2.1.1.5

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{5}$ .

$4 (\frac{x^{5}}{4} + \frac{1}{4} (- 9 x^{3})) = 4 \cdot 0$

Этап 2.2.1.1.6

Умножим $\frac{1}{4} (- 9 x^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.6.1

Объединим $- 9$ и $\frac{1}{4}$ .

$4 (\frac{x^{5}}{4} + \frac{- 9}{4} x^{3}) = 4 \cdot 0$

Этап 2.2.1.1.6.2

Объединим $\frac{- 9}{4}$ и $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{5}}{4} + \frac{- 9 x^{3}}{4}) = 4 \cdot 0$

Этап 2.2.1.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 (\frac{x^{5}}{4} - \frac{9 x^{3}}{4}) = 4 \cdot 0$

Этап 2.2.1.1.8

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \frac{x^{5}}{4} + 4 (- \frac{9 x^{3}}{4}) = 4 \cdot 0$

Этап 2.2.1.1.9

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.9.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{x^{5}}{4} + 4 (- \frac{9 x^{3}}{4}) = 4 \cdot 0$

Этап 2.2.1.1.9.2

Перепишем это выражение.

$x^{5} + 4 (- \frac{9 x^{3}}{4}) = 4 \cdot 0$

Этап 2.2.1.1.10

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.10.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{9 x^{3}}{4}$ в числитель.

$x^{5} + 4 \frac{- 9 x^{3}}{4} = 4 \cdot 0$

Этап 2.2.1.1.10.2

Сократим общий множитель.

$x^{5} + 4 \frac{- 9 x^{3}}{4} = 4 \cdot 0$

Этап 2.2.1.1.10.3

Перепишем это выражение.

$x^{5} - 9 x^{3} = 4 \cdot 0$

Этап 2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $4$ на $0$ .

$x^{5} - 9 x^{3} = 0$

Этап 2.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{5} - 9 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{5}$ .

$x^{3} x^{2} - 9 x^{3} = 0$

Этап 2.3.1.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $- 9 x^{3}$ .

$x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 9 = 0$

Этап 2.3.1.3

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} x^{2} + x^{3} \cdot - 9$ .

$x^{3} (x^{2} - 9) = 0$

Этап 2.3.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x^{3} (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Этап 2.3.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$x^{3} ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Этап 2.3.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x^{3} (x + 3) (x - 3) = 0$

Этап 2.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{3} = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x^{3}$ к $0$ .

$x^{3} = 0$

Этап 2.5.2

Решим $x^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 2.5.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 2.5.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 2.6

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 2.6.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 2.7

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.7.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{3} (x + 3) (x - 3) = 0$ верно.

$x = 0, - 3, 3$

Этап 3