Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{4} + 6 x^{3} + 10 x^{2} + 6 x + 9$

Этап 1

Приравняем $x^{4} + 6 x^{3} + 10 x^{2} + 6 x + 9$ к $0$ .

$x^{4} + 6 x^{3} + 10 x^{2} + 6 x + 9 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$6 x^{3} + 6 x + x^{4} + 10 x^{2} + 9 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $6 x$ из $6 x^{3} + 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $6 x$ из $6 x^{3}$ .

$6 x (x^{2}) + 6 x + x^{4} + 10 x^{2} + 9 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $6 x$ из $6 x$ .

$6 x (x^{2}) + 6 x (1) + x^{4} + 10 x^{2} + 9 = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $6 x$ из $6 x (x^{2}) + 6 x (1)$ .

$6 x (x^{2} + 1) + x^{4} + 10 x^{2} + 9 = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$6 x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} + 10 x^{2} + 9 = 0$

Этап 2.1.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$6 x (x^{2} + 1) + u^{2} + 10 u + 9 = 0$

Этап 2.1.5

Разложим $u^{2} + 10 u + 9$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $9$ , а сумма — $10$ .

$1, 9$

Этап 2.1.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$6 x (x^{2} + 1) + (u + 1) (u + 9) = 0$

Этап 2.1.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$6 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 9) = 0$

Этап 2.1.7

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $6 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $6 x (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (6 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 9) = 0$

Этап 2.1.7.2

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $(x^{2} + 1) (6 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 9)$ .

$(x^{2} + 1) (6 x + x^{2} + 9) = 0$

Этап 2.1.8

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$(x^{2} + 1) (6 u + u^{2} + 9) = 0$

Этап 2.1.9

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Переставляем члены.

$(x^{2} + 1) (u^{2} + 6 u + 9) = 0$

Этап 2.1.9.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$(x^{2} + 1) (u^{2} + 6 u + 3^{2}) = 0$

Этап 2.1.9.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Этап 2.1.9.4

Перепишем многочлен.

$(x^{2} + 1) (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Этап 2.1.9.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 3$ .

$(x^{2} + 1) {(u + 3)}^{2} = 0$

Этап 2.1.10

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$(x^{2} + 1) {(x + 3)}^{2} = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x^{2} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x^{2} + 1$ к $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Этап 2.3.2

Решим $x^{2} + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 1$

Этап 2.3.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 2.3.2.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 2.3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 2.3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 2.3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 2.4

Приравняем ${(x + 3)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем ${(x + 3)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Этап 2.4.2

Решим ${(x + 3)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 2.4.2.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 2.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x^{2} + 1) {(x + 3)}^{2} = 0$ верно.

$x = i, - i, - 3$

Этап 3