Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3} - 15 x^{2} + 18 x + 54$

Этап 1

Приравняем $x^{4} - 2 x^{3} - 15 x^{2} + 18 x + 54$ к $0$ .

$x^{4} - 2 x^{3} - 15 x^{2} + 18 x + 54 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$- 2 x^{3} + 18 x + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $- 2 x$ из $- 2 x^{3} + 18 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $- 2 x$ из $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x \cdot x^{2} + 18 x + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $- 2 x$ из $18 x$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x \cdot - 9 + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $- 2 x$ из $- 2 x (x^{2}) - 2 x (- 9)$ .

$- 2 x (x^{2} - 9) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Этап 2.1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$- 2 x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Этап 2.1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Этап 2.1.5

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} + 54 = 0$

Этап 2.1.6

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 15 u + 54 = 0$

Этап 2.1.7

Разложим $u^{2} - 15 u + 54$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $54$ , а сумма — $- 15$ .

$- 9, - 6$

Этап 2.1.7.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (u - 9) (u - 6) = 0$

Этап 2.1.8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 9) (x^{2} - 6) = 0$

Этап 2.1.9

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 3^{2}) (x^{2} - 6) = 0$

Этап 2.1.10

$- 2 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6) = 0$

Этап 2.1.11

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $- 2 x (x + 3) (x - 3) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.1

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $- 2 x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- 2 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6) = 0$

Этап 2.1.11.2

Вынесем множитель $(x + 3) (x - 3)$ из $(x + 3) (x - 3) (- 2 x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 6)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- 2 x + x^{2} - 6) = 0$

Этап 2.1.12

Изменим порядок членов.

$(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 2 x - 6) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} - 2 x - 6 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x + 3$ к $0$ .

$x + 3 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x = - 3$

Этап 2.4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.5

Приравняем $x^{2} - 2 x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x^{2} - 2 x - 6$ к $0$ .

$x^{2} - 2 x - 6 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $x^{2} - 2 x - 6 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = - 6$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 6)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 6}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 6$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.3

Добавим $4$ и $24$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.4

Перепишем $28$ в виде $2^{2} \cdot 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Этап 2.5.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Этап 2.5.2.3.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{7}$

Этап 2.5.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 1 + \sqrt{7}, 1 - \sqrt{7}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 3) (x - 3) (x^{2} - 2 x - 6) = 0$ верно.

$x = - 3, 3, 1 + \sqrt{7}, 1 - \sqrt{7}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - 3, 3, 1 + \sqrt{7}, 1 - \sqrt{7}$

Десятичная форма:

$x = - 3, 3, 3.64575131 \dots, - 1.64575131 \dots$

Этап 4