Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36$

Этап 1

Приравняем $x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36$ к $0$ .

$x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Разложим $x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

$q = \pm 1$

Этап 2.1.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

Этап 2.1.1.3

Подставим $- 1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $- 1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.3.1

Подставим $- 1$ в многочлен.

${(- 1)}^{6} + 4 {(- 1)}^{4} - 41 {(- 1)}^{2} + 36$

Этап 2.1.1.3.2

Возведем $- 1$ в степень $6$ .

$1 + 4 {(- 1)}^{4} - 41 {(- 1)}^{2} + 36$

Этап 2.1.1.3.3

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$1 + 4 \cdot 1 - 41 {(- 1)}^{2} + 36$

Этап 2.1.1.3.4

Умножим $4$ на $1$ .

$1 + 4 - 41 {(- 1)}^{2} + 36$

Этап 2.1.1.3.5

Добавим $1$ и $4$ .

$5 - 41 {(- 1)}^{2} + 36$

Этап 2.1.1.3.6

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$5 - 41 \cdot 1 + 36$

Этап 2.1.1.3.7

Умножим $- 41$ на $1$ .

$5 - 41 + 36$

Этап 2.1.1.3.8

Вычтем $41$ из $5$ .

$- 36 + 36$

Этап 2.1.1.3.9

Добавим $- 36$ и $36$ .

$0$

Этап 2.1.1.4

Поскольку $- 1$ — известный корень, разделим многочлен на $x + 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36}{x + 1}$

Этап 2.1.1.5

Разделим $x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

Этап 2.1.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{6}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

Этап 2.1.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

Этап 2.1.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{6} + x^{5}$ .

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

Этап 2.1.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

Этап 2.1.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{5}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

Этап 2.1.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{5}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

Этап 2.1.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

Этап 2.1.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{5} - x^{4}$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

Этап 2.1.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

Этап 2.1.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{5}$

$x^{4}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

Этап 2.1.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $5 x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

Этап 2.1.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

Этап 2.1.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $5 x^{4} + 5 x^{3}$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

Этап 2.1.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

Этап 2.1.1.5.16

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.17

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 5 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.18

Умножим новое частное на делитель.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.19

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 5 x^{3} - 5 x^{2}$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.20

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

Этап 2.1.1.5.21

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

Этап 2.1.1.5.22

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 36 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

Этап 2.1.1.5.23

Умножим новое частное на делитель.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

Этап 2.1.1.5.24

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 36 x^{2} - 36 x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

Этап 2.1.1.5.25

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

Этап 2.1.1.5.26

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

$36$

Этап 2.1.1.5.27

Разделим член с максимальной степенью в делимом $36 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$36$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

$36$

Этап 2.1.1.5.28

Умножим новое частное на делитель.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$36$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

$36$

$36 x$

$36$

Этап 2.1.1.5.29

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $36 x + 36$ .

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$36$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

$36$

$36 x$

$36$

Этап 2.1.1.5.30

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x$

$36$

$x$

$1$

$x^{6}$

$0 x^{5}$

$4 x^{4}$

$0 x^{3}$

$41 x^{2}$

$0 x$

$36$

$x^{6}$

$x^{5}$

$4 x^{4}$

$x^{5}$

$x^{4}$

$5 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{4}$

$5 x^{3}$

$41 x^{2}$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$36 x^{2}$

$0 x$

$36 x^{2}$

$36 x$

$36$

$36 x$

$36$

$0$

Этап 2.1.1.5.31

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{5} - x^{4} + 5 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x + 36$

Этап 2.1.1.6

Запишем $x^{6} + 4 x^{4} - 41 x^{2} + 36$ в виде набора множителей.

$(x + 1) (x^{5} - x^{4} + 5 x^{3} - 5 x^{2} - 36 x + 36) = 0$

Этап 2.1.2

Перегруппируем члены.

$(x + 1) (x^{5} + 5 x^{3} - 36 x - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Этап 2.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{5} + 5 x^{3} - 36 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{5}$ .

$(x + 1) (x \cdot x^{4} + 5 x^{3} - 36 x - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Этап 2.1.3.2

Вынесем множитель $x$ из $5 x^{3}$ .

$(x + 1) (x \cdot x^{4} + x (5 x^{2}) - 36 x - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Этап 2.1.3.3

Вынесем множитель $x$ из $- 36 x$ .

$(x + 1) (x \cdot x^{4} + x (5 x^{2}) + x \cdot - 36 - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Этап 2.1.3.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{4} + x (5 x^{2})$ .

$(x + 1) (x (x^{4} + 5 x^{2}) + x \cdot - 36 - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Этап 2.1.3.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{4} + 5 x^{2}) + x \cdot - 36$ .

$(x + 1) (x (x^{4} + 5 x^{2} - 36) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Этап 2.1.4

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x + 1) (x ({(x^{2})}^{2} + 5 x^{2} - 36) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Этап 2.1.5

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$(x + 1) (x (u^{2} + 5 u - 36) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Этап 2.1.6

Разложим $u^{2} + 5 u - 36$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 36$ , а сумма — $5$ .

$- 4, 9$

Этап 2.1.6.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 1) (x ((u - 4) (u + 9)) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Этап 2.1.7

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$(x + 1) (x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 9)) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Этап 2.1.8

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$(x + 1) (x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 9)) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Этап 2.1.9

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$(x + 1) (x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9)) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Этап 2.1.9.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - x^{4} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Этап 2.1.10

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} + 36) = 0$

Этап 2.1.11

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - u^{2} - 5 u + 36) = 0$

Этап 2.1.12

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 36 = - 36$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 u$ .

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - u^{2} - 5 u + 36) = 0$

Этап 2.1.12.1.2

Запишем $- 5$ как $4$ плюс $- 9$

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - u^{2} + (4 - 9) u + 36) = 0$

Этап 2.1.12.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - u^{2} + 4 u - 9 u + 36) = 0$

Этап 2.1.12.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) - u^{2} + 4 u - 9 u + 36) = 0$

Этап 2.1.12.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + u (- u + 4) + 9 (- u + 4)) = 0$

Этап 2.1.12.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- u + 4$ .

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (- u + 4) (u + 9)) = 0$

Этап 2.1.13

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (- x^{2} + 4) (x^{2} + 9)) = 0$

Этап 2.1.14

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (- x^{2} + 2^{2}) (x^{2} + 9)) = 0$

Этап 2.1.15

Изменим порядок $- x^{2}$ и $2^{2}$ .

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (2^{2} - x^{2}) (x^{2} + 9)) = 0$

Этап 2.1.16

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2$ и $b = x$ .

$(x + 1) (x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 9)) = 0$

Этап 2.1.17

Вынесем множитель $x^{2} + 9$ из $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9) + (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.17.1

Вынесем множитель $x^{2} + 9$ из $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 9)$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x (x + 2) (x - 2)) + (2 + x) (2 - x) (x^{2} + 9)) = 0$

Этап 2.1.17.2

Вынесем множитель $x^{2} + 9$ из $(2 + x) (2 - x) (x^{2} + 9)$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x (x + 2) (x - 2)) + (x^{2} + 9) ((2 + x) (2 - x))) = 0$

Этап 2.1.17.3

Вынесем множитель $x^{2} + 9$ из $(x^{2} + 9) (x (x + 2) (x - 2)) + (x^{2} + 9) ((2 + x) (2 - x))$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x (x + 2) (x - 2) + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Этап 2.1.18

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x \cdot x + x \cdot 2) (x - 2) + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Этап 2.1.19

Умножим $x$ на $x$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x^{2} + x \cdot 2) (x - 2) + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Этап 2.1.20

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x^{2} + 2 x) (x - 2) + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Этап 2.1.21

Развернем $(x^{2} + 2 x) (x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.21.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} (x - 2) + 2 x (x - 2) + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Этап 2.1.21.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 2 x (x - 2) + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Этап 2.1.21.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Этап 2.1.22

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.22.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.22.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.22.1.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.22.1.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Этап 2.1.22.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Этап 2.1.22.1.1.2

Добавим $2$ и $1$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Этап 2.1.22.1.2

Перенесем $- 2$ влево от $x^{2}$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 2 x^{2} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Этап 2.1.22.1.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.22.1.3.1

Перенесем $x$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 2 x^{2} + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Этап 2.1.22.1.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Этап 2.1.22.1.4

Умножим $- 2$ на $2$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 2 x^{2} + 2 x^{2} - 4 x + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Этап 2.1.22.2

Добавим $- 2 x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} + 0 - 4 x + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Этап 2.1.22.3

Добавим $x^{3}$ и $0$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + (2 + x) (2 - x))) = 0$

Этап 2.1.23

Развернем $(2 + x) (2 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.23.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 2 (2 - x) + x (2 - x))) = 0$

Этап 2.1.23.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x))) = 0$

Этап 2.1.23.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x))) = 0$

Этап 2.1.24

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.24.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.24.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x))) = 0$

Этап 2.1.24.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x))) = 0$

Этап 2.1.24.1.3

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - 2 x + 2 x + x (- x))) = 0$

Этап 2.1.24.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - 2 x + 2 x - x \cdot x)) = 0$

Этап 2.1.24.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.24.1.5.1

Перенесем $x$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x))) = 0$

Этап 2.1.24.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - 2 x + 2 x - x^{2})) = 0$

Этап 2.1.24.2

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 + 0 - x^{2})) = 0$

Этап 2.1.24.3

Добавим $4$ и $0$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - 4 x + 4 - x^{2})) = 0$

Этап 2.1.25

Изменим порядок членов.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{3} - x^{2} - 4 x + 4)) = 0$

Этап 2.1.26

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.26.1

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.26.1.1

Перепишем $x^{3} - x^{2} - 4 x + 4$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.26.1.1.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.26.1.1.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x^{3} - x^{2}) - 4 x + 4)) = 0$

Этап 2.1.26.1.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x^{2} (x - 1) - 4 (x - 1))) = 0$

Этап 2.1.26.1.1.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 1$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x - 1) (x^{2} - 4))) = 0$

Этап 2.1.26.1.1.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x - 1) (x^{2} - 2^{2}))) = 0$

Этап 2.1.26.1.1.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.26.1.1.4.1

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x - 1) ((x + 2) (x - 2)))) = 0$

Этап 2.1.26.1.1.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) ((x - 1) (x + 2) (x - 2))) = 0$

Этап 2.1.26.1.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 1) ((x^{2} + 9) (x - 1) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Этап 2.1.26.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 1) (x^{2} + 9) (x - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.4

Приравняем $x^{2} + 9$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{2} + 9$ к $0$ .

$x^{2} + 9 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{2} + 9 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вычтем $9$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 9$

Этап 2.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Этап 2.4.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.3.1

Перепишем $- 9$ в виде $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Этап 2.4.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (9)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Этап 2.4.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Этап 2.4.2.3.4

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Этап 2.4.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 3$

Этап 2.4.2.3.6

Перенесем $3$ влево от $i$ .

$x = \pm 3 i$

Этап 2.4.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 3 i$

Этап 2.4.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 3 i$

Этап 2.4.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 3 i, - 3 i$

Этап 2.5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.6

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.6.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.7

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.7.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 1) (x^{2} + 9) (x - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$ верно.

$x = - 1, 3 i, - 3 i, 1, - 2, 2$

Этап 3