Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = x^{5} - 3 x^{4} - 3 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x + 12$

Этап 1

Приравняем $x^{5} - 3 x^{4} - 3 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x + 12$ к $0$ .

$x^{5} - 3 x^{4} - 3 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x + 12 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Перегруппируем члены.

$x^{5} - 3 x^{3} - 4 x - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{5} - 3 x^{3} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - 3 x^{3} - 4 x - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2}) - 4 x - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2}) + x \cdot - 4 - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Этап 2.1.2.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{4} + x (- 3 x^{2})$ .

$x (x^{4} - 3 x^{2}) + x \cdot - 4 - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Этап 2.1.2.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{4} - 3 x^{2}) + x \cdot - 4$ .

$x (x^{4} - 3 x^{2} - 4) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Этап 2.1.3

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - 3 x^{2} - 4) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Этап 2.1.4

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$x (u^{2} - 3 u - 4) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Этап 2.1.5

Разложим $u^{2} - 3 u - 4$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 4$ , а сумма — $- 3$ .

$- 4, 1$

Этап 2.1.5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$x ((u - 4) (u + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Этап 2.1.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Этап 2.1.7

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Этап 2.1.8

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Этап 2.1.8.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) - 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12 = 0$

Этап 2.1.9

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{4} + 9 x^{2} + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.9.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{4}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 9 x^{2} + 12 = 0$

Этап 2.1.9.2

Вынесем множитель $3$ из $9 x^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 3 (3 x^{2}) + 12 = 0$

Этап 2.1.9.3

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4}) + 3 (3 x^{2}) + 3 (4) = 0$

Этап 2.1.9.4

Вынесем множитель $3$ из $3 (- x^{4}) + 3 (3 x^{2})$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4} + 3 x^{2}) + 3 (4) = 0$

Этап 2.1.9.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (- x^{4} + 3 x^{2}) + 3 (4)$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{4} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Этап 2.1.10

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- {(x^{2})}^{2} + 3 x^{2} + 4) = 0$

Этап 2.1.11

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + 3 u + 4) = 0$

Этап 2.1.12

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot 4 = - 4$ , а сумма — $b = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 u$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + 3 (u) + 4) = 0$

Этап 2.1.12.1.2

Запишем $3$ как $- 1$ плюс $4$

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} + (- 1 + 4) u + 4) = 0$

Этап 2.1.12.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- u^{2} - 1 u + 4 u + 4) = 0$

Этап 2.1.12.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.12.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- u^{2} - 1 u) + 4 u + 4) = 0$

Этап 2.1.12.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (u (- u - 1) - 4 (- u - 1)) = 0$

Этап 2.1.12.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- u - 1$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- u - 1) (u - 4)) = 0$

Этап 2.1.13

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x^{2} - 4)) = 0$

Этап 2.1.14

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x^{2} - 2^{2})) = 0$

Этап 2.1.15

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.15.1

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.15.1.1

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) ((x + 2) (x - 2))) = 0$

Этап 2.1.15.1.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 ((- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Этап 2.1.15.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$

Этап 2.1.16

Вынесем множитель $(x + 2) (x - 2)$ из $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.16.1

Вынесем множитель $(x + 2) (x - 2)$ из $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + 3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2) = 0$

Этап 2.1.16.2

Вынесем множитель $(x + 2) (x - 2)$ из $3 (- x^{2} - 1) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + (x + 2) (x - 2) (3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Этап 2.1.16.3

Вынесем множитель $(x + 2) (x - 2)$ из $(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1)) + (x + 2) (x - 2) (3 (- x^{2} - 1))$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 1) + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Этап 2.1.17

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Этап 2.1.18

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.18.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.18.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Этап 2.1.18.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x + 2) (x - 2) (x^{1 + 2} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Этап 2.1.18.2

Добавим $1$ и $2$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x \cdot 1 + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Этап 2.1.19

Умножим $x$ на $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x + 3 (- x^{2} - 1)) = 0$

Этап 2.1.20

Применим свойство дистрибутивности.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x + 3 (- x^{2}) + 3 \cdot - 1) = 0$

Этап 2.1.21

Умножим $- 1$ на $3$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x - 3 x^{2} + 3 \cdot - 1) = 0$

Этап 2.1.22

Умножим $3$ на $- 1$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x - 3 x^{2} - 3) = 0$

Этап 2.1.23

Изменим порядок членов.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} - 3 x^{2} + x - 3) = 0$

Этап 2.1.24

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.24.1

Перепишем $x^{3} - 3 x^{2} + x - 3$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.24.1.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.24.1.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(x + 2) (x - 2) ((x^{3} - 3 x^{2}) + x - 3) = 0$

Этап 2.1.24.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} (x - 3) + 1 (x - 3)) = 0$

Этап 2.1.24.1.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x - 3$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x^{2} + 1)) = 0$

Этап 2.1.24.2

Избавимся от ненужных скобок.

$(x + 2) (x - 2) (x - 3) (x^{2} + 1) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 2.3.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 2.4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 2.5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.6

Приравняем $x^{2} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Приравняем $x^{2} + 1$ к $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Этап 2.6.2

Решим $x^{2} + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 1$

Этап 2.6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Этап 2.6.2.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i$

Этап 2.6.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i$

Этап 2.6.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i$

Этап 2.6.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i, - i$

Этап 2.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 2) (x - 2) (x - 3) (x^{2} + 1) = 0$ верно.

$x = - 2, 2, 3, i, - i$

Этап 3