Основы мат. анализа Примеры

$f (x) = - 2 x^{3} + 6 x^{2} - \frac{9}{2} x$

Этап 1

Приравняем $- 2 x^{3} + 6 x^{2} - \frac{9}{2} x$ к $0$ .

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} - \frac{9}{2} x = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Объединим $x$ и $\frac{9}{2}$ .

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} - \frac{x \cdot 9}{2} = 0$

Этап 2.1.2

Перенесем $9$ влево от $x$ .

$- 2 x^{3} + 6 x^{2} - \frac{9 x}{2} = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $- x$ из $- 2 x^{3} + 6 x^{2} - \frac{9 x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $- x$ из $- 2 x^{3}$ .

$- x (2 x^{2}) + 6 x^{2} - \frac{9 x}{2} = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $- x$ из $6 x^{2}$ .

$- x (2 x^{2}) - x (- 6 x) - \frac{9 x}{2} = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $- x$ из $- \frac{9 x}{2}$ .

$- x (2 x^{2}) - x (- 6 x) - x \frac{9}{2} = 0$

Этап 2.2.4

Вынесем множитель $- x$ из $- x (2 x^{2}) - x (- 6 x)$ .

$- x (2 x^{2} - 6 x) - x \frac{9}{2} = 0$

Этап 2.2.5

Вынесем множитель $- x$ из $- x (2 x^{2} - 6 x) - x (\frac{9}{2})$ .

$- x (2 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2}) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$2 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2} = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $2 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $2 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2}$ к $0$ .

$2 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2} = 0$

Этап 2.5.2

Решим $2 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $2$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (2 x^{2}) + 2 (- 6 x) + 2 (\frac{9}{2}) = 0$

Этап 2.5.2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.2.1

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 (\frac{9}{2}) = 0$

Этап 2.5.2.1.2.2

Умножим $- 6$ на $2$ .

$4 x^{2} - 12 x + 2 (\frac{9}{2}) = 0$

Этап 2.5.2.1.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$4 x^{2} - 12 x + 2 (\frac{9}{2}) = 0$

Этап 2.5.2.1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$4 x^{2} - 12 x + 9 = 0$

Этап 2.5.2.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 2.5.2.3

Подставим значения $a = 4$ , $b = - 12$ и $c = 9$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 9)}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1.1

Возведем $- 12$ в степень $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 16 \cdot 9}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.2.4.1.2.2

Умножим $- 16$ на $9$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 144}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.2.4.1.3

Вычтем $144$ из $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.2.4.1.4

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \frac{12 \pm 0}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.2.4.1.6

$12$ плюс или минус $0$ равно $12$ .

$x = \frac{12}{2 \cdot 4}$

Этап 2.5.2.4.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x = \frac{12}{8}$

Этап 2.5.2.4.3

Сократим общий множитель $12$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.3.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{4 (3)}{8}$

Этап 2.5.2.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$x = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 2}$

Этап 2.5.2.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 2}$

Этап 2.5.2.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{3}{2}$

Этап 2.5.2.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

Двойные корни $x = \frac{3}{2}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- x (2 x^{2} - 6 x + \frac{9}{2}) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{3}{2}$

Этап 3