Основы мат. анализа Примеры

$\sin (x) \tan^{2} (x) = \sin (x)$

Этап 1

Вычтем $\sin (x)$ из обеих частей уравнения.

$\sin (x) \tan^{2} (x) - \sin (x) = 0$

Этап 2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) \tan^{2} (x) - \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) \tan^{2} (x)$ .

$\sin (x) (\tan^{2} (x)) - \sin (x) = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (\tan^{2} (x)) + \sin (x) \cdot - 1 = 0$

Этап 2.3

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin (x) (\tan^{2} (x)) + \sin (x) \cdot - 1$ .

$\sin (x) (\tan^{2} (x) - 1) = 0$

Этап 3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\sin (x) (\tan^{2} (x) - 1^{2}) = 0$

Этап 4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \tan (x)$ и $b = 1$ .

$\sin (x) ((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)) = 0$

Этап 4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\sin (x) (\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\tan (x) + 1 = 0$

$\tan (x) - 1 = 0$

Этап 6

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $\sin (x)$ к $0$ .

$\sin (x) = 0$

Этап 6.2

Решим $\sin (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (0)$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 6.2.3

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - 0$

Этап 6.2.4

Вычтем $0$ из $π$ .

$x = π$

Этап 6.2.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.2.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.2.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.2.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Приравняем $\tan (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $\tan (x) + 1$ к $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

Этап 7.2

Решим $\tan (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\tan (x) = - 1$

Этап 7.2.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (- 1)$

Этап 7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Этап 7.2.4

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Этап 7.2.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Этап 7.2.5.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{4}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{4} - π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 7.2.6

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 7.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 7.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 7.2.6.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 7.2.7

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.7.1

Добавим $π$ к $- \frac{π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{4} + π$

Этап 7.2.7.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 7.2.7.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.7.3.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Этап 7.2.7.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Этап 7.2.7.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.7.4.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Этап 7.2.7.4.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Этап 7.2.7.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{3 π}{4}$

Этап 7.2.8

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Приравняем $\tan (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $\tan (x) - 1$ к $0$ .

$\tan (x) - 1 = 0$

Этап 8.2

Решим $\tan (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\tan (x) = 1$

Этап 8.2.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (1)$

Этап 8.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 8.2.4

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{4}$

Этап 8.2.5

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 8.2.5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 8.2.5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 8.2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 8.2.5.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 8.2.6

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 8.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 8.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 8.2.6.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 8.2.7

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $\sin (x) (\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1) = 0$ верно.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 10

Объединим ответы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $2 π n$ и $π + 2 π n$ в $π n$ .

$x = π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 10.2

Объединим $\frac{3 π}{4} + π n$ и $\frac{π}{4} + π n$ в $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 10.3

Объединим $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ и $\frac{5 π}{4} + π n$ в $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , для любого целого $n$