Основы мат. анализа Примеры

$\log (x + 9) = 1 - \log (x)$

Этап 1

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\log (x + 9) - 1 = - \log (x)$

Этап 1.2

Добавим $\log (x)$ к обеим частям уравнения.

$\log (x + 9) - 1 + \log (x) = 0$

Этап 2

Упростим $\log (x + 9) - 1 + \log (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x + 9) x) - 1 = 0$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\log (x \cdot x + 9 x) - 1 = 0$

Этап 2.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\log (x^{2} + 9 x) - 1 = 0$

Этап 3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\log (x^{2} + 9 x) = 1$

Этап 4

Перепишем $\log (x^{2} + 9 x) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$10^{1} = x^{2} + 9 x$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} + 9 x = 10^{1}$ .

$x^{2} + 9 x = 10$

Этап 5.2

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + 9 x - 10 = 0$

Этап 5.3

Разложим $x^{2} + 9 x - 10$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 10$ , а сумма — $9$ .

$- 1, 10$

Этап 5.3.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 1) (x + 10) = 0$

Этап 5.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 10 = 0$

Этап 5.5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 5.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5.6

Приравняем $x + 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $x + 10$ к $0$ .

$x + 10 = 0$

Этап 5.6.2

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$x = - 10$

Этап 5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (x + 10) = 0$ верно.

$x = 1, - 10$