Основы мат. анализа Примеры

$p - 8 \sqrt{p} = - 15$

Этап 1

Добавим $15$ к обеим частям уравнения.

$p - 8 \sqrt{p} + 15 = 0$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{p}$ в виде $p^{\frac{1}{2}}$ .

$p - 8 p^{\frac{1}{2}} + 15 = 0$

Этап 3

Перепишем $p$ в виде ${(p^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

${(p^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8 p^{\frac{1}{2}} + 15 = 0$

Этап 4

Пусть $u = p^{\frac{1}{2}}$ . Подставим $u$ вместо $p^{\frac{1}{2}}$ для всех.

$u^{2} - 8 u + 15 = 0$

Этап 5

Разложим $u^{2} - 8 u + 15$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $15$ , а сумма — $- 8$ .

$- 5, - 3$

Этап 5.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 5) (u - 3) = 0$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $p^{\frac{1}{2}}$ .

$(p^{\frac{1}{2}} - 5) (p^{\frac{1}{2}} - 3) = 0$

Этап 7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$p^{\frac{1}{2}} - 5 = 0$

$p^{\frac{1}{2}} - 3 = 0$

Этап 8

Приравняем $p^{\frac{1}{2}} - 5$ к $0$ , затем решим относительно $p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $p^{\frac{1}{2}} - 5$ к $0$ .

$p^{\frac{1}{2}} - 5 = 0$

Этап 8.2

Решим $p^{\frac{1}{2}} - 5 = 0$ относительно $p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$p^{\frac{1}{2}} = 5$

Этап 8.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(p^{\frac{1}{2}})}^{2} = 5^{2}$

Этап 8.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1

Упростим ${(p^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(p^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$p^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{2}$

Этап 8.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$p^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{2}$

Этап 8.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$p^{1} = 5^{2}$

Этап 8.2.3.1.1.2

Упростим.

$p = 5^{2}$

Этап 8.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.2.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$p = 25$

Этап 9

Приравняем $p^{\frac{1}{2}} - 3$ к $0$ , затем решим относительно $p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $p^{\frac{1}{2}} - 3$ к $0$ .

$p^{\frac{1}{2}} - 3 = 0$

Этап 9.2

Решим $p^{\frac{1}{2}} - 3 = 0$ относительно $p$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$p^{\frac{1}{2}} = 3$

Этап 9.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(p^{\frac{1}{2}})}^{2} = 3^{2}$

Этап 9.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1.1

Упростим ${(p^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(p^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$p^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

Этап 9.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$p^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

Этап 9.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$p^{1} = 3^{2}$

Этап 9.2.3.1.1.2

Упростим.

$p = 3^{2}$

Этап 9.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.2.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$p = 9$

Этап 10

Окончательным решением являются все значения, при которых $(p^{\frac{1}{2}} - 5) (p^{\frac{1}{2}} - 3) = 0$ верно.

$p = 25, 9$