Основы мат. анализа Примеры

$\ln (x + 1) - \ln (x) = 2$

Этап 1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$\ln (x + 1) - \ln (x) - 2 = 0$

Этап 2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x + 1}{x}) - 2 = 0$

Этап 3

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$\ln (\frac{x + 1}{x}) = 2$

Этап 4

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{x + 1}{x})} = e^{2}$

Этап 5

Перепишем $\ln (\frac{x + 1}{x}) = 2$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{2} = \frac{x + 1}{x}$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{x + 1}{x} = e^{2}$ .

$\frac{x + 1}{x} = e^{2}$

Этап 6.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x, 1$

Этап 6.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x$

Этап 6.3

Каждый член в $\frac{x + 1}{x} = e^{2}$ умножим на $x$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим каждый член $\frac{x + 1}{x} = e^{2}$ на $x$ .

$\frac{x + 1}{x} x = e^{2} x$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x + 1}{x} x = e^{2} x$

Этап 6.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$x + 1 = e^{2} x$

Этап 6.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вычтем $e^{2} x$ из обеих частей уравнения.

$x + 1 - e^{2} x = 0$

Этап 6.4.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x - e^{2} x = - 1$

Этап 6.4.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x - e^{2} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x - e^{2} x = - 1$

Этап 6.4.3.1.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - e^{2} x = - 1$

Этап 6.4.3.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- e^{2} x$ .

$x \cdot 1 + x (- e^{2}) = - 1$

Этап 6.4.3.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 1 + x (- e^{2})$ .

$x (1 - e^{2}) = - 1$

Этап 6.4.3.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x (1^{2} - e^{2}) = - 1$

Этап 6.4.3.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = e$ .

$x ((1 + e) (1 - e)) = - 1$

Этап 6.4.3.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$x (1 + e) (1 - e) = - 1$

Этап 6.4.4

Разделим каждый член $x (1 + e) (1 - e) = - 1$ на $1 - e^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.4.1

Разделим каждый член $x (1 + e) (1 - e) = - 1$ на $1 - e^{2}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{1 - e^{2}} = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Этап 6.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.4.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.4.2.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{1^{2} - e^{2}} = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Этап 6.4.4.2.1.2

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{(1 + e) (1 - e)} = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Этап 6.4.4.2.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.4.2.2.1

Сократим общий множитель $1 + e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{(1 + e) (1 - e)} = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Этап 6.4.4.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x (1 - e)}{1 - e} = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Этап 6.4.4.2.2.2

Сократим общий множитель $1 - e$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (1 - e)}{1 - e} = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Этап 6.4.4.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

Этап 6.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.4.3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.4.3.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$x = \frac{- 1}{1^{2} - e^{2}}$

Этап 6.4.4.3.1.2

$x = \frac{- 1}{(1 + e) (1 - e)}$

Этап 6.4.4.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{(1 + e) (1 - e)}$