Основы мат. анализа Примеры

$\ln (x - 1) + \ln (x + 2) = 1$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\ln (x - 1) + \ln (x + 2) - 1 = 0$

Этап 2

Упростим $\ln (x - 1) + \ln (x + 2) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - 1) (x + 2)) - 1 = 0$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Развернем $(x - 1) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x (x + 2) - 1 (x + 2)) - 1 = 0$

Этап 2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x + 2)) - 1 = 0$

Этап 2.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) - 1 = 0$

Этап 2.2.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) - 1 = 0$

Этап 2.2.2.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\ln (x^{2} + 2 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 2) - 1 = 0$

Этап 2.2.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\ln (x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 2) - 1 = 0$

Этап 2.2.2.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\ln (x^{2} + 2 x - x - 2) - 1 = 0$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $x$ из $2 x$ .

$\ln (x^{2} + x - 2) - 1 = 0$

Этап 3

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\ln (x^{2} + x - 2) = 1$

Этап 4

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x^{2} + x - 2)} = e^{1}$

Этап 5

Перепишем $\ln (x^{2} + x - 2) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x^{2} + x - 2$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} + x - 2 = e^{1}$ .

$x^{2} + x - 2 = e$

Этап 6.2

Вычтем $e$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} + x - 2 - e = 0$

Этап 6.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.4

Подставим значения $a = 1$ , $b = 1$ и $c = - 2 - e$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 2 - e))}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 - e)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 2 - e)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 2 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.1.4

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.1.5

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.1.6

Добавим $1$ и $8$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Этап 6.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 - e)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 2 - e)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 2 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6.1.4

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6.1.5

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6.1.6

Добавим $1$ и $8$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Этап 6.6.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 1 + \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Этап 6.6.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Этап 6.6.5

Вынесем множитель $- 1$ из $\sqrt{9 + 4 e}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{9 + 4 e})}{2}$

Этап 6.6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{9 + 4 e})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - \sqrt{9 + 4 e})}{2}$

Этап 6.6.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 - \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Этап 6.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 - e)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 2 - e)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 2 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.1.4

Умножим $- 4$ на $- 2$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.1.5

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.1.6

Добавим $1$ и $8$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Этап 6.7.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 1 - \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Этап 6.7.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Этап 6.7.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sqrt{9 + 4 e}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{9 + 4 e})}{2}$

Этап 6.7.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (\sqrt{9 + 4 e})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + \sqrt{9 + 4 e})}{2}$

Этап 6.7.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 + \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Этап 6.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - \sqrt{9 + 4 e}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{1 - \sqrt{9 + 4 e}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

Десятичная форма:

$x = 1.72896429 \dots, - 2.72896429 \dots$