Основы мат. анализа Примеры

$\ln (x) + \ln (x^{2}) = 3$

Этап 1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$\ln (x) + \ln (x^{2}) - 3 = 0$

Этап 2

Упростим $\ln (x) + \ln (x^{2}) - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x \cdot x^{2}) - 3 = 0$

Этап 2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\ln (x^{1} x^{2}) - 3 = 0$

Этап 2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (x^{1 + 2}) - 3 = 0$

Этап 2.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\ln (x^{3}) - 3 = 0$

Этап 3

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$\ln (x^{3}) = 3$

Этап 4

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x^{3})} = e^{3}$

Этап 5

Перепишем $\ln (x^{3}) = 3$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{3} = x^{3}$

Этап 6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $x^{3} = e^{3}$ .

$x^{3} = e^{3}$

Этап 6.2

Поскольку экспоненты равны, основания экспонент в обеих частях уравнения должны быть равны.

$x = e$