Основы мат. анализа Примеры

$\cos (3 x) = 1$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\cos (3 x) - 1 = 0$

Этап 2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\cos (3 x) = 1$

Этап 3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$3 x = \arccos (1)$

Этап 4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Точное значение $\arccos (1)$ : $0$ .

$3 x = 0$

Этап 5

Разделим каждый член $3 x = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $3 x = 0$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

$x = 0$

Этап 6

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$3 x = 2 π - 0$

Этап 7

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$3 x = 2 π + 0$

Этап 7.1.2

Добавим $2 π$ и $0$ .

$3 x = 2 π$

Этап 7.2

Разделим каждый член $3 x = 2 π$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Разделим каждый член $3 x = 2 π$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2 π}{3}$

Этап 7.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2 π}{3}$

Этап 7.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Этап 8

Найдем период $\cos (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 8.2

Заменим $b$ на $3$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Этап 8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Этап 9

Период функции $\cos (3 x)$ равен $\frac{2 π}{3}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{2 π}{3}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{2 π n}{3}, \frac{2 π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 10

Объединим ответы.

$x = \frac{2 π n}{3}$ , для любого целого $n$