Основы мат. анализа Примеры

$8 x^{\frac{2}{3}} - 15 x^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Этап 1

Перепишем $x^{\frac{2}{3}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$8 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 15 x^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Этап 2

Пусть $u = x^{\frac{1}{3}}$ . Подставим $u$ вместо $x^{\frac{1}{3}}$ для всех.

$8 u^{2} - 15 u - 2 = 0$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 8 \cdot - 2 = - 16$ , а сумма — $b = - 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $- 15$ из $- 15 u$ .

$8 u^{2} - 15 u - 2 = 0$

Этап 3.1.2

Запишем $- 15$ как $1$ плюс $- 16$

$8 u^{2} + (1 - 16) u - 2 = 0$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 u^{2} + 1 u - 16 u - 2 = 0$

Этап 3.1.4

Умножим $u$ на $1$ .

$8 u^{2} + u - 16 u - 2 = 0$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(8 u^{2} + u) - 16 u - 2 = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (8 u + 1) - 2 (8 u + 1) = 0$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $8 u + 1$ .

$(8 u + 1) (u - 2) = 0$

Этап 4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{3}}$ .

$(8 x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 2) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Этап 6

Приравняем $8 x^{\frac{1}{3}} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $8 x^{\frac{1}{3}} + 1$ к $0$ .

$8 x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$

Этап 6.2

Решим $8 x^{\frac{1}{3}} + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$8 x^{\frac{1}{3}} = - 1$

Этап 6.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(8 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 6.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Упростим ${(8 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1.1

Применим правило умножения к $8 x^{\frac{1}{3}}$ .

$8^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 6.2.3.1.1.2

Возведем $8$ в степень $3$ .

$512 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 6.2.3.1.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$512 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 6.2.3.1.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$512 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 6.2.3.1.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$512 x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Этап 6.2.3.1.1.4

Упростим.

$512 x = {(- 1)}^{3}$

Этап 6.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$512 x = - 1$

Этап 6.2.4

Разделим каждый член $512 x = - 1$ на $512$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Разделим каждый член $512 x = - 1$ на $512$ .

$\frac{512 x}{512} = \frac{- 1}{512}$

Этап 6.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1

Сократим общий множитель $512$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{512 x}{512} = \frac{- 1}{512}$

Этап 6.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{512}$

Этап 6.2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{512}$

Этап 7

Приравняем $x^{\frac{1}{3}} - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x^{\frac{1}{3}} - 2$ к $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Этап 7.2

Решим $x^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x^{\frac{1}{3}} = 2$

Этап 7.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Этап 7.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Этап 7.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Этап 7.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 2^{3}$

Этап 7.2.3.1.1.2

Упростим.

$x = 2^{3}$

Этап 7.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$x = 8$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(8 x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 2) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{512}, 8$