Основы мат. анализа Примеры

$\tan^{2} (x) = \frac{3}{2} \cdot \sec (x)$

Этап 1

Вычтем $\frac{3}{2} \cdot \sec (x)$ из обеих частей уравнения.

$\tan^{2} (x) - \frac{3}{2} \cdot \sec (x) = 0$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $\sec (x)$ и $\frac{3}{2}$ .

$\tan^{2} (x) - \frac{\sec (x) \cdot 3}{2} = 0$

Этап 2.2

Перенесем $3$ влево от $\sec (x)$ .

$\tan^{2} (x) - \frac{3 \sec (x)}{2} = 0$

Этап 3

Заменим $\tan^{2} (x)$ на $\sec^{2} (x) - 1$ на основе тождества $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(\sec^{2} (x) - 1) - \frac{3 \sec (x)}{2} = 0$

Этап 4

Упорядочим многочлен.

$\sec^{2} (x) - \frac{3 \sec (x)}{2} - 1 = 0$

Этап 5

Подставим $u$ вместо $\sec (x)$ .

${(u)}^{2} - \frac{3 (u)}{2} - 1 = 0$

Этап 6

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $2$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 u^{2} + 2 (- \frac{3 u}{2}) + 2 \cdot - 1 = 0$

Этап 6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3 u}{2}$ в числитель.

$2 u^{2} + 2 \frac{- 3 u}{2} + 2 \cdot - 1 = 0$

Этап 6.2.1.2

Сократим общий множитель.

$2 u^{2} + 2 \frac{- 3 u}{2} + 2 \cdot - 1 = 0$

Этап 6.2.1.3

Перепишем это выражение.

$2 u^{2} - 3 u + 2 \cdot - 1 = 0$

Этап 6.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 u^{2} - 3 u - 2 = 0$

Этап 7

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 8

Подставим значения $a = 2$ , $b = - 3$ и $c = - 2$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 2}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 9.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 9.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

Этап 9.1.3

Добавим $9$ и $16$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

Этап 9.1.4

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 9.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

Этап 9.2

Умножим $2$ на $2$ .

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

Этап 10

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 10.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 10.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

Этап 10.1.3

Добавим $9$ и $16$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

Этап 10.1.4

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 10.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

Этап 10.2

Умножим $2$ на $2$ .

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

Этап 10.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$u = \frac{3 + 5}{4}$

Этап 10.4

Добавим $3$ и $5$ .

$u = \frac{8}{4}$

Этап 10.5

Разделим $8$ на $4$ .

$u = 2$

Этап 11

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.1.2.2

Умножим $- 8$ на $- 2$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.1.3

Добавим $9$ и $16$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.1.4

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

Этап 11.1.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

Этап 11.2

Умножим $2$ на $2$ .

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

Этап 11.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$u = \frac{3 - 5}{4}$

Этап 11.4

Вычтем $5$ из $3$ .

$u = \frac{- 2}{4}$

Этап 11.5

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$u = \frac{2 (- 1)}{4}$

Этап 11.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$u = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Этап 11.5.2.2

Сократим общий множитель.

$u = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Этап 11.5.2.3

Перепишем это выражение.

$u = \frac{- 1}{2}$

Этап 11.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{1}{2}$

Этап 12

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = 2, - \frac{1}{2}$

Этап 13

Подставим $\sec (x)$ вместо $u$ .

$\sec (x) = 2, - \frac{1}{2}$

Этап 14

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sec (x) = 2$

$\sec (x) = - \frac{1}{2}$

Этап 15

Решим относительно $x$ в $\sec (x) = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Применим обратный секанс к обеим частям уравнения, чтобы извлечь $x$ из-под знака секанса.

$x = arcsec (2)$

Этап 15.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Точное значение $arcsec (2)$ : $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 15.3

Функция секанса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 15.4

Упростим $2 π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 15.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 15.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 15.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Этап 15.4.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 15.5

Найдем период $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 15.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 15.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 15.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 15.6

Период функции $\sec (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 16

Решим относительно $x$ в $\sec (x) = - \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Множество значений секанса: $y \leq - 1$ и $y \geq 1$ . Поскольку $- \frac{1}{2}$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 17

Перечислим все решения.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , для любого целого $n$