Основы мат. анализа Примеры

$\log_{x} (256) = - 4$

Этап 1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$\log_{x} (256) + 4 = 0$

Этап 2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$\log_{x} (256) = - 4$

Этап 3

Перепишем $\log_{x} (256) = - 4$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$x^{- 4} = 256$

Этап 4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{4}} = 256$

Этап 4.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{4}, 1$

Этап 4.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{4}$

Этап 4.3

Каждый член в $\frac{1}{x^{4}} = 256$ умножим на $x^{4}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим каждый член $\frac{1}{x^{4}} = 256$ на $x^{4}$ .

$\frac{1}{x^{4}} x^{4} = 256 x^{4}$

Этап 4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x^{4}} x^{4} = 256 x^{4}$

Этап 4.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$1 = 256 x^{4}$

Этап 4.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перепишем уравнение в виде $256 x^{4} = 1$ .

$256 x^{4} = 1$

Этап 4.4.2

Разделим каждый член $256 x^{4} = 1$ на $256$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Разделим каждый член $256 x^{4} = 1$ на $256$ .

$\frac{256 x^{4}}{256} = \frac{1}{256}$

Этап 4.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1

Сократим общий множитель $256$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{256 x^{4}}{256} = \frac{1}{256}$

Этап 4.4.2.2.1.2

Разделим $x^{4}$ на $1$ .

$x^{4} = \frac{1}{256}$

Этап 4.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{256}}$

Этап 4.4.4

Упростим $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{256}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.1

Перепишем $\sqrt[4]{\frac{1}{256}}$ в виде $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{256}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{256}}$

Этап 4.4.4.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{256}}$

Этап 4.4.4.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.4.3.1

Перепишем $256$ в виде $4^{4}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{4^{4}}}$

Этап 4.4.4.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{1}{4}$

Этап 4.4.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{1}{4}$

Этап 4.4.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{1}{4}$

Этап 4.4.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}$

Этап 5

Исключим решения, которые не делают $\log_{x} (256) + 4 = 0$ истинным.

$x = \frac{1}{4}$