Основы мат. анализа Примеры

$\tan^{2} (3 x) = \sqrt{1}$

Этап 1

Вычтем $\sqrt{1}$ из обеих частей уравнения.

$\tan^{2} (3 x) - \sqrt{1} = 0$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$\tan^{2} (3 x) - 1 \cdot 1 = 0$

Этап 2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\tan^{2} (3 x) - 1 = 0$

Этап 3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\tan^{2} (3 x) - 1^{2} = 0$

Этап 4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \tan (3 x)$ и $b = 1$ .

$(\tan (3 x) + 1) (\tan (3 x) - 1) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\tan (3 x) + 1 = 0$

$\tan (3 x) - 1 = 0$

Этап 6

Приравняем $\tan (3 x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $\tan (3 x) + 1$ к $0$ .

$\tan (3 x) + 1 = 0$

Этап 6.2

Решим $\tan (3 x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\tan (3 x) = - 1$

Этап 6.2.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$3 x = \arctan (- 1)$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Точное значение $\arctan (- 1)$ : $- \frac{π}{4}$ .

$3 x = - \frac{π}{4}$

Этап 6.2.4

Разделим каждый член $3 x = - \frac{π}{4}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Разделим каждый член $3 x = - \frac{π}{4}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{4}}{3}$

Этап 6.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{4}}{3}$

Этап 6.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{3}$

Этап 6.2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 6.2.4.3.2

Умножим $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.3.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{3 \cdot 4}$

Этап 6.2.4.3.2.2

Умножим $3$ на $4$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Этап 6.2.5

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$3 x = - \frac{π}{4} - π$

Этап 6.2.6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{π}{4} - π$ .

$3 x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Этап 6.2.6.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{4}$ является положительным и отличается от $- \frac{π}{4} - π$ на полный оборот.

$3 x = \frac{3 π}{4}$

Этап 6.2.6.3

Разделим каждый член $3 x = \frac{3 π}{4}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.3.1

Разделим каждый член $3 x = \frac{3 π}{4}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Этап 6.2.6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Этап 6.2.6.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Этап 6.2.6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.3.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 6.2.6.3.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.6.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 π$ .

$x = \frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 6.2.6.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 6.2.6.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{π}{4}$

Этап 6.2.7

Найдем период $\tan (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 6.2.7.2

Заменим $b$ на $3$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 3 |}$

Этап 6.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{π}{3}$

Этап 6.2.8

Добавим $\frac{π}{3}$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.1

Добавим $\frac{π}{3}$ к $- \frac{π}{12}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{π}{12} + \frac{π}{3}$

Этап 6.2.8.2

Чтобы записать $\frac{π}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{12}$

Этап 6.2.8.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.3.1

Умножим $\frac{π}{3}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{12}$

Этап 6.2.8.3.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{π \cdot 4}{12} - \frac{π}{12}$

Этап 6.2.8.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 - π}{12}$

Этап 6.2.8.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.5.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{12}$

Этап 6.2.8.5.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$\frac{3 π}{12}$

Этап 6.2.8.6

Сократим общий множитель $3$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.6.1

Вынесем множитель $3$ из $3 π$ .

$\frac{3 (π)}{12}$

Этап 6.2.8.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$\frac{3 π}{3 \cdot 4}$

Этап 6.2.8.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 π}{3 \cdot 4}$

Этап 6.2.8.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{4}$

Этап 6.2.8.7

Перечислим новые углы.

$x = \frac{π}{4}$

Этап 6.2.9

Период функции $\tan (3 x)$ равен $\frac{π}{3}$ . Поэтому значения повторяются через каждые $\frac{π}{3}$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 7

Приравняем $\tan (3 x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $\tan (3 x) - 1$ к $0$ .

$\tan (3 x) - 1 = 0$

Этап 7.2

Решим $\tan (3 x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\tan (3 x) = 1$

Этап 7.2.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$3 x = \arctan (1)$

Этап 7.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$3 x = \frac{π}{4}$

Этап 7.2.4

Разделим каждый член $3 x = \frac{π}{4}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Разделим каждый член $3 x = \frac{π}{4}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Этап 7.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Этап 7.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Этап 7.2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 7.2.4.3.2

Умножим $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.3.2.1

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 3}$

Этап 7.2.4.3.2.2

Умножим $4$ на $3$ .

$x = \frac{π}{12}$

Этап 7.2.5

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$3 x = π + \frac{π}{4}$

Этап 7.2.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$3 x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 7.2.6.1.2

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 7.2.6.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 7.2.6.1.4

Добавим $π \cdot 4$ и $π$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1.4.1

Изменим порядок $π$ и $4$ .

$3 x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 7.2.6.1.4.2

Добавим $4 \cdot π$ и $π$ .

$3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$

Этап 7.2.6.2

Разделим каждый член $3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.2.1

Разделим каждый член $3 x = \frac{5 \cdot π}{4}$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Этап 7.2.6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Этап 7.2.6.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{4}}{3}$

Этап 7.2.6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.2.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$x = \frac{5 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Этап 7.2.6.2.3.2

Умножим $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.2.3.2.1

Умножим $\frac{5 π}{4}$ на $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 3}$

Этап 7.2.6.2.3.2.2

Умножим $4$ на $3$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Этап 7.2.7

Найдем период $\tan (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.7.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 7.2.7.2

Заменим $b$ на $3$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 3 |}$

Этап 7.2.7.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$\frac{π}{3}$

Этап 7.2.8

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(\tan (3 x) + 1) (\tan (3 x) - 1) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}, \frac{π}{12} + \frac{π n}{3}, \frac{5 π}{12} + \frac{π n}{3}$ , для любого целого $n$

Этап 9

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{6}$ , для любого целого $n$