Основы мат. анализа Примеры

$\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x) = \sec^{2} (x) \cdot \csc^{2} (x)$

Этап 1

Вычтем $\sec^{2} (x) \cdot \csc^{2} (x)$ из обеих частей уравнения.

$\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) \cdot \csc^{2} (x) = 0$

Этап 2

Заменим $\sec^{2} (x)$ на $1 + \tan^{2} (x)$ на основе тождества $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) + \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) \cdot \csc^{2} (x) = 0$

Этап 3

Умножим $- \sec^{2} (x)$ на $\csc^{2} (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) + \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) \csc^{2} (x) = 0$

Этап 4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим $1 + \tan^{2} (x) + \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) \csc^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Переставляем члены.

$\tan^{2} (x) + 1 + \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) \csc^{2} (x) = 0$

Этап 4.1.2

Применим формулу Пифагора.

$\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) \csc^{2} (x) = 0$

Этап 4.1.3

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Перенесем $- \sec^{2} (x) \csc^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) - \sec^{2} (x) \csc^{2} (x) + \csc^{2} (x) = 0$

Этап 4.1.3.2

Вынесем множитель $- \sec^{2} (x)$ из $\sec^{2} (x)$ .

$- \sec^{2} (x) \cdot - 1 - \sec^{2} (x) \csc^{2} (x) + \csc^{2} (x) = 0$

Этап 4.1.3.3

Вынесем множитель $- \sec^{2} (x)$ из $- \sec^{2} (x) \csc^{2} (x)$ .

$- \sec^{2} (x) \cdot - 1 - \sec^{2} (x) (\csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) = 0$

Этап 4.1.3.4

Вынесем множитель $- \sec^{2} (x)$ из $- \sec^{2} (x) \cdot - 1 - \sec^{2} (x) (\csc^{2} (x))$ .

$- \sec^{2} (x) \cdot (- 1 + \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) = 0$

Этап 4.1.4

Переставляем члены.

$- \sec^{2} (x) \cdot (\csc^{2} (x) - 1) + \csc^{2} (x) = 0$

Этап 4.1.5

Применим формулу Пифагора.

$- \sec^{2} (x) \cdot \cot^{2} (x) + \csc^{2} (x) = 0$

Этап 4.1.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Перепишем $\sec^{2} (x) \cdot \cot^{2} (x)$ в виде ${(\sec (x) \cot (x))}^{2}$ .

$- {(\sec (x) \cot (x))}^{2} + \csc^{2} (x) = 0$

Этап 4.1.6.2

Изменим порядок $- {(\sec (x) \cot (x))}^{2}$ и $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x) - {(\sec (x) \cot (x))}^{2} = 0$

Этап 4.1.7

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \csc (x)$ и $b = \sec (x) \cot (x)$ .

$(\csc (x) + \sec (x) \cot (x)) (\csc (x) - (\sec (x) \cot (x))) = 0$

Этап 4.1.8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1.1

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1.1.1

Изменим порядок $\sec (x)$ и $\cot (x)$ .

$(\csc (x) + \cot (x) \sec (x)) (\csc (x) - (\sec (x) \cot (x))) = 0$

Этап 4.1.8.1.1.2

Выразим $\sec (x) \cot (x)$ через синусы и косинусы.

$(\csc (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) (\csc (x) - (\sec (x) \cot (x))) = 0$

Этап 4.1.8.1.1.3

Сократим общие множители.

$(\csc (x) + \frac{1}{\sin (x)}) (\csc (x) - (\sec (x) \cot (x))) = 0$

Этап 4.1.8.1.2

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$(\csc (x) + \csc (x)) (\csc (x) - (\sec (x) \cot (x))) = 0$

Этап 4.1.8.2

Добавим $\csc (x)$ и $\csc (x)$ .

$2 \csc (x) (\csc (x) - (\sec (x) \cot (x))) = 0$

Этап 4.1.8.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.3.1

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.3.1.1

Изменим порядок $\sec (x)$ и $\cot (x)$ .

$2 \csc (x) (\csc (x) - (\cot (x) \sec (x))) = 0$

Этап 4.1.8.3.1.2

Выразим $- (\sec (x) \cot (x))$ через синусы и косинусы.

$2 \csc (x) (\csc (x) - (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)})) = 0$

Этап 4.1.8.3.1.3

Сократим общие множители.

$2 \csc (x) (\csc (x) - \frac{1}{\sin (x)}) = 0$

Этап 4.1.8.3.2

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$2 \csc (x) (\csc (x) - \csc (x)) = 0$

Этап 4.1.8.4

Вычтем $\csc (x)$ из $\csc (x)$ .

$2 \csc (x) \cdot 0 = 0$

Этап 4.1.9

Умножим $2 \csc (x) \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.1

Умножим $0$ на $2$ .

$0 \csc (x) = 0$

Этап 4.1.9.2

Умножим $0$ на $\csc (x)$ .

$0 = 0$

Этап 5

Поскольку $0 = 0$ , это уравнение всегда будет истинным.

Всегда истинное