Основы мат. анализа Примеры

$\frac{3}{4} x^{2} + 8 x + 20 = 0$

Этап 1

Объединим $\frac{3}{4}$ и $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} + 8 x + 20 = 0$

Этап 2

Чтобы записать $8 x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} + 8 x \cdot \frac{4}{4} + 20 = 0$

Этап 3

Объединим $8 x$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3 x^{2}}{4} + \frac{8 x \cdot 4}{4} + 20 = 0$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 x^{2} + 8 x \cdot 4}{4} + 20 = 0$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2} + 8 x \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{x (3 x) + 8 x \cdot 4}{4} + 20 = 0$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $x$ из $8 x \cdot 4$ .

$\frac{x (3 x) + x (8 \cdot 4)}{4} + 20 = 0$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (3 x) + x (8 \cdot 4)$ .

$\frac{x (3 x + 8 \cdot 4)}{4} + 20 = 0$

Этап 5.2

Умножим $8$ на $4$ .

$\frac{x (3 x + 32)}{4} + 20 = 0$

Этап 6

Чтобы записать $20$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x (3 x + 32)}{4} + 20 \cdot \frac{4}{4} = 0$

Этап 7

Объединим $20$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x (3 x + 32)}{4} + \frac{20 \cdot 4}{4} = 0$

Этап 8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x (3 x + 32) + 20 \cdot 4}{4} = 0$

Этап 9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (3 x) + x \cdot 32 + 20 \cdot 4}{4} = 0$

Этап 9.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 x \cdot x + x \cdot 32 + 20 \cdot 4}{4} = 0$

Этап 9.3

Перенесем $32$ влево от $x$ .

$\frac{3 x \cdot x + 32 \cdot x + 20 \cdot 4}{4} = 0$

Этап 9.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{3 (x \cdot x) + 32 \cdot x + 20 \cdot 4}{4} = 0$

Этап 9.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{3 x^{2} + 32 \cdot x + 20 \cdot 4}{4} = 0$

$\frac{3 x^{2} + 32 x + 20 \cdot 4}{4} = 0$

Этап 9.5

Умножим $20$ на $4$ .

$\frac{3 x^{2} + 32 x + 80}{4} = 0$

Этап 9.6

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 80 = 240$ , а сумма — $b = 32$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1.1

Вынесем множитель $32$ из $32 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 32 (x) + 80}{4} = 0$

Этап 9.6.1.2

Запишем $32$ как $12$ плюс $20$

$\frac{3 x^{2} + (12 + 20) x + 80}{4} = 0$

Этап 9.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{2} + 12 x + 20 x + 80}{4} = 0$

Этап 9.6.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(3 x^{2} + 12 x) + 20 x + 80}{4} = 0$

Этап 9.6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{3 x (x + 4) + 20 (x + 4)}{4} = 0$

Этап 9.6.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 4$ .

$\frac{(x + 4) (3 x + 20)}{4} = 0$

Этап 10

Приравняем числитель к нулю.

$(x + 4) (3 x + 20) = 0$

Этап 11

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 4 = 0$

$3 x + 20 = 0$

Этап 11.2

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 11.2.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 11.3

Приравняем $3 x + 20$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Приравняем $3 x + 20$ к $0$ .

$3 x + 20 = 0$

Этап 11.3.2

Решим $3 x + 20 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Вычтем $20$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 20$

Этап 11.3.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 20$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 20$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 20}{3}$

Этап 11.3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 20}{3}$

Этап 11.3.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 20}{3}$

Этап 11.3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{20}{3}$

Этап 11.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 4) (3 x + 20) = 0$ верно.

$x = - 4, - \frac{20}{3}$