Основы мат. анализа Примеры

$25^{x} - 8 \cdot 5^{x} = - 16$

Этап 1

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$25^{x} - 8 \cdot 5^{x} + 16 = 0$

Этап 2

Перепишем $25^{x}$ в виде ${(5^{2})}^{x}$ .

${(5^{2})}^{x} - 8 \cdot 5^{x} + 16 = 0$

Этап 3

Перепишем ${(5^{2})}^{x}$ в виде ${(5^{x})}^{2}$ .

${(5^{x})}^{2} - 8 \cdot 5^{x} + 16 = 0$

Этап 4

Пусть $u = 5^{x}$ . Подставим $u$ вместо $5^{x}$ для всех.

$u^{2} - 8 u + 16 = 0$

Этап 5

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$u^{2} - 8 u + 4^{2} = 0$

Этап 5.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

Этап 5.3

Перепишем многочлен.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2} = 0$

Этап 5.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 4$ .

${(u - 4)}^{2} = 0$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $5^{x}$ .

${(5^{x} - 4)}^{2} = 0$

Этап 7

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$5^{x} - 4 = \pm \sqrt{0}$

Этап 8

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$5^{x} - 4 = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 8.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$5^{x} - 4 = \pm 0$

Этап 8.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$5^{x} - 4 = 0$

Этап 9

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$5^{x} = 4$

Этап 10

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (5^{x}) = \ln (4)$

Этап 11

Развернем $\ln (5^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (5) = \ln (4)$

Этап 12

Разделим каждый член $x \ln (5) = \ln (4)$ на $\ln (5)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Разделим каждый член $x \ln (5) = \ln (4)$ на $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Этап 12.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Сократим общий множитель $\ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

Этап 12.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$