Основы мат. анализа Примеры

$3^{x - 7} = \frac{1}{27}$

Этап 1

Вычтем $\frac{1}{27}$ из обеих частей уравнения.

$3^{x - 7} - \frac{1}{27} = 0$

Этап 2

Упростим $3^{x - 7} - \frac{1}{27}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $3^{x - 7}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{27}{27}$ .

$3^{x - 7} \cdot \frac{27}{27} - \frac{1}{27} = 0$

Этап 2.2

Объединим $3^{x - 7}$ и $\frac{27}{27}$ .

$\frac{3^{x - 7} \cdot 27}{27} - \frac{1}{27} = 0$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3^{x - 7} \cdot 27 - 1}{27} = 0$

Этап 2.4

Умножим $3^{x - 7} \cdot 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем $27$ в виде $3^{3}$ .

$\frac{3^{x - 7} \cdot 3^{3} - 1}{27} = 0$

Этап 2.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3^{x - 7 + 3} - 1}{27} = 0$

Этап 2.4.3

Добавим $- 7$ и $3$ .

$\frac{3^{x - 4} - 1}{27} = 0$

Этап 3

Приравняем числитель к нулю.

$3^{x - 4} - 1 = 0$

Этап 4

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3^{x - 4} = 1$

Этап 4.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (3^{x - 4}) = \ln (1)$

Этап 4.3

Развернем $\ln (3^{x - 4})$ , вынося $x - 4$ из логарифма.

$(x - 4) \ln (3) = \ln (1)$

Этап 4.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \ln (3) - 4 \ln (3) = \ln (1)$

Этап 4.5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$x \ln (3) - 4 \ln (3) = 0$

Этап 4.6

Добавим $4 \ln (3)$ к обеим частям уравнения.

$x \ln (3) = 4 \ln (3)$

Этап 4.7

Разделим каждый член $x \ln (3) = 4 \ln (3)$ на $\ln (3)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Разделим каждый член $x \ln (3) = 4 \ln (3)$ на $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{4 \ln (3)}{\ln (3)}$

Этап 4.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Сократим общий множитель $\ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{4 \ln (3)}{\ln (3)}$

Этап 4.7.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{4 \ln (3)}{\ln (3)}$

Этап 4.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.3.1

Сократим общий множитель $\ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.3.1.1

Сократим общий множитель.

$x = \frac{4 \ln (3)}{\ln (3)}$

Этап 4.7.3.1.2

Разделим $4$ на $1$ .

$x = 4$