Основы мат. анализа Примеры

$5^{2 x} + 5^{x + 1} - 24 = 0$

Этап 1

Перепишем $5^{x + 1}$ в виде $5^{x} \cdot 5^{1}$ .

$5^{2 x} + 5^{x} \cdot 5 - 24 = 0$

Этап 2

Перепишем $5^{2 x}$ в виде ${(5^{x})}^{2}$ .

${(5^{x})}^{2} + 5^{x} \cdot 5 - 24 = 0$

Этап 3

Пусть $u = 5^{x}$ . Подставим $u$ вместо $5^{x}$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем экспоненту.

$u^{2} + u \cdot 5 - 24 = 0$

Этап 3.2

Перенесем $5$ влево от $u$ .

$u^{2} + 5 u - 24 = 0$

Этап 4

Разложим $u^{2} + 5 u - 24$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 24$ , а сумма — $5$ .

$- 3, 8$

Этап 4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(u - 3) (u + 8) = 0$

Этап 5

Заменим все вхождения $u$ на $5^{x}$ .

$(5^{x} - 3) (5^{x} + 8) = 0$

Этап 6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$5^{x} - 3 = 0$

$5^{x} + 8 = 0$

Этап 7

Приравняем $5^{x} - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $5^{x} - 3$ к $0$ .

$5^{x} - 3 = 0$

Этап 7.2

Решим $5^{x} - 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$5^{x} = 3$

Этап 7.2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (5^{x}) = \ln (3)$

Этап 7.2.3

Развернем $\ln (5^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (5) = \ln (3)$

Этап 7.2.4

Разделим каждый член $x \ln (5) = \ln (3)$ на $\ln (5)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Разделим каждый член $x \ln (5) = \ln (3)$ на $\ln (5)$ .

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Этап 7.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.2.1

Сократим общий множитель $\ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Этап 7.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$

Этап 8

Приравняем $5^{x} + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $5^{x} + 8$ к $0$ .

$5^{x} + 8 = 0$

Этап 8.2

Решим $5^{x} + 8 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$5^{x} = - 8$

Этап 8.2.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (5^{x}) = \ln (- 8)$

Этап 8.2.3

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (- 8)$ не определено.

Неопределенные

Этап 8.2.4

Нет решения для $5^{x} = - 8$

Нет решения

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(5^{x} - 3) (5^{x} + 8) = 0$ верно.

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (5)}$