Основы мат. анализа Примеры

${(3 x - 1)}^{\frac{2}{3}} = 4$

Этап 1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

${(3 x - 1)}^{\frac{2}{3}} - 4 = 0$

Этап 2

Перепишем ${(3 x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ в виде ${({(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

${({(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2} - 4 = 0$

Этап 3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

${({(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2} - 2^{2} = 0$

Этап 4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = {(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ и $b = 2$ .

$({(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 2) ({(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$

${(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Этап 6

Приравняем ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 2$ к $0$ .

${(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$

Этап 6.2

Решим ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

${(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} = - 2$

Этап 6.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${({(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 2)}^{3}$

Этап 6.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Упростим ${({(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{3}$

Этап 6.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(3 x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{3}$

Этап 6.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(3 x - 1)}^{1} = {(- 2)}^{3}$

Этап 6.2.3.1.1.2

Упростим.

$3 x - 1 = {(- 2)}^{3}$

Этап 6.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$3 x - 1 = - 8$

Этап 6.2.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 x = - 8 + 1$

Этап 6.2.4.1.2

Добавим $- 8$ и $1$ .

$3 x = - 7$

Этап 6.2.4.2

Разделим каждый член $3 x = - 7$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 7$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 7}{3}$

Этап 6.2.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 7}{3}$

Этап 6.2.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 7}{3}$

Этап 6.2.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{7}{3}$

Этап 7

Приравняем ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2$ к $0$ .

${(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Этап 7.2

Решим ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

${(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} = 2$

Этап 7.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${({(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Этап 7.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1

Упростим ${({(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Этап 7.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(3 x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Этап 7.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(3 x - 1)}^{1} = 2^{3}$

Этап 7.2.3.1.1.2

Упростим.

$3 x - 1 = 2^{3}$

Этап 7.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$3 x - 1 = 8$

Этап 7.2.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 8 + 1$

Этап 7.2.4.1.2

Добавим $8$ и $1$ .

$3 x = 9$

Этап 7.2.4.2

Разделим каждый член $3 x = 9$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.2.1

Разделим каждый член $3 x = 9$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{9}{3}$

Этап 7.2.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{9}{3}$

Этап 7.2.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{9}{3}$

Этап 7.2.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.2.3.1

Разделим $9$ на $3$ .

$x = 3$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $({(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 2) ({(3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2) = 0$ верно.

$x = - \frac{7}{3}, 3$