Основы мат. анализа Примеры

$3 x^{\frac{2}{3}} + 4 x^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$

Этап 1

Перепишем $x^{\frac{2}{3}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} + 4 x^{\frac{1}{3}} - 4 = 0$

Этап 2

Пусть $u = x^{\frac{1}{3}}$ . Подставим $u$ вместо $x^{\frac{1}{3}}$ для всех.

$3 u^{2} + 4 u - 4 = 0$

Этап 3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 4 = - 12$ , а сумма — $b = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 u$ .

$3 u^{2} + 4 (u) - 4 = 0$

Этап 3.1.2

Запишем $4$ как $- 2$ плюс $6$

$3 u^{2} + (- 2 + 6) u - 4 = 0$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 u^{2} - 2 u + 6 u - 4 = 0$

Этап 3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 u^{2} - 2 u) + 6 u - 4 = 0$

Этап 3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$u (3 u - 2) + 2 (3 u - 2) = 0$

Этап 3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 u - 2$ .

$(3 u - 2) (u + 2) = 0$

Этап 4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{3}}$ .

$(3 x^{\frac{1}{3}} - 2) (x^{\frac{1}{3}} + 2) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

$x^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$

Этап 6

Приравняем $3 x^{\frac{1}{3}} - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $3 x^{\frac{1}{3}} - 2$ к $0$ .

$3 x^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

Этап 6.2

Решим $3 x^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$3 x^{\frac{1}{3}} = 2$

Этап 6.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Этап 6.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Упростим ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1.1

Применим правило умножения к $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Этап 6.2.3.1.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Этап 6.2.3.1.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Этап 6.2.3.1.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Этап 6.2.3.1.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$27 x^{1} = 2^{3}$

Этап 6.2.3.1.1.4

Упростим.

$27 x = 2^{3}$

Этап 6.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$27 x = 8$

Этап 6.2.4

Разделим каждый член $27 x = 8$ на $27$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Разделим каждый член $27 x = 8$ на $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{8}{27}$

Этап 6.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1

Сократим общий множитель $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{27 x}{27} = \frac{8}{27}$

Этап 6.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{8}{27}$

Этап 7

Приравняем $x^{\frac{1}{3}} + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $x^{\frac{1}{3}} + 2$ к $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$

Этап 7.2

Решим $x^{\frac{1}{3}} + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x^{\frac{1}{3}} = - 2$

Этап 7.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 2)}^{3}$

Этап 7.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{3}$

Этап 7.2.3.1.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 2)}^{3}$

Этап 7.2.3.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = {(- 2)}^{3}$

Этап 7.2.3.1.1.2

Упростим.

$x = {(- 2)}^{3}$

Этап 7.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.2.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$x = - 8$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x^{\frac{1}{3}} - 2) (x^{\frac{1}{3}} + 2) = 0$ верно.

$x = \frac{8}{27}, - 8$