Основы мат. анализа Примеры

$2 y^{2} - y - \frac{1}{2} = 0$

Этап 1

Чтобы записать $2 y^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- y + 2 y^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = 0$

Этап 2

Объединим $2 y^{2}$ и $\frac{2}{2}$ .

$- y + \frac{2 y^{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} = 0$

Этап 3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- y + \frac{2 y^{2} \cdot 2 - 1}{2} = 0$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $2$ на $2$ .

$- y + \frac{4 y^{2} - 1}{2} = 0$

Этап 4.2

Перепишем $4 y^{2}$ в виде ${(2 y)}^{2}$ .

$- y + \frac{{(2 y)}^{2} - 1}{2} = 0$

Этап 4.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- y + \frac{{(2 y)}^{2} - 1^{2}}{2} = 0$

Этап 4.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2 y$ и $b = 1$ .

$- y + \frac{(2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

Этап 5

Чтобы записать $- y$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- y \cdot \frac{2}{2} + \frac{(2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

Этап 6

Объединим $- y$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- y \cdot 2}{2} + \frac{(2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- y \cdot 2 + (2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2 y + (2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

Этап 8.2

Развернем $(2 y + 1) (2 y - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y - 1) + 1 (2 y - 1)}{2} = 0$

Этап 8.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 1 + 1 (2 y - 1)}{2} = 0$

Этап 8.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Этап 8.3

Объединим противоположные члены в $2 y (2 y) + 2 y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Изменим порядок множителей в членах $2 y \cdot - 1$ и $1 (2 y)$ .

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) - 1 \cdot (2 y) + 1 \cdot (2 y) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Этап 8.3.2

Добавим $- 1 \cdot 2 y$ и $1 \cdot 2 y$ .

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) + 0 + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Этап 8.3.3

Добавим $2 y (2 y)$ и $0$ .

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Этап 8.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 2 y + 2 \cdot (2 y \cdot y) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Этап 8.4.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Перенесем $y$ .

$\frac{- 2 y + 2 \cdot (2 (y \cdot y)) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Этап 8.4.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{- 2 y + 2 \cdot (2 y^{2}) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Этап 8.4.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{- 2 y + 4 y^{2} + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

Этап 8.4.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 2 y + 4 y^{2} - 1}{2} = 0$

Этап 8.5

Изменим порядок членов.

$\frac{4 y^{2} - 2 y - 1}{2} = 0$

Этап 9

Приравняем числитель к нулю.

$4 y^{2} - 2 y - 1 = 0$

Этап 10

Решим уравнение относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 10.2

Подставим значения $a = 4$ , $b = - 2$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

Этап 10.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 10.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 10.3.1.2.2

Умножим $- 16$ на $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

Этап 10.3.1.3

Добавим $4$ и $16$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

Этап 10.3.1.4

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

Этап 10.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Этап 10.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Этап 10.3.2

Умножим $2$ на $4$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

Этап 10.3.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Этап 10.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 10.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 10.4.1.2.2

Умножим $- 16$ на $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

Этап 10.4.1.3

Добавим $4$ и $16$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

Этап 10.4.1.4

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

Этап 10.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Этап 10.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Этап 10.4.2

Умножим $2$ на $4$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

Этап 10.4.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Этап 10.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$y = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

Этап 10.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 10.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

Этап 10.5.1.2.2

Умножим $- 16$ на $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

Этап 10.5.1.3

Добавим $4$ и $16$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

Этап 10.5.1.4

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

Этап 10.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Этап 10.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Этап 10.5.2

Умножим $2$ на $4$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

Этап 10.5.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ .

$y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Этап 10.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$y = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Этап 10.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$y = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Десятичная форма:

$y = 0.80901699 \dots, - 0.30901699 \dots$