Основы мат. анализа Примеры

$x^{- \frac{2}{3}} = 36$

Этап 1

Вычтем $36$ из обеих частей уравнения.

$x^{- \frac{2}{3}} - 36 = 0$

Этап 2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - 36 = 0$

Этап 3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{x^{\frac{2}{3}}} - 36 = 0$

Этап 4

Перепишем $x^{\frac{2}{3}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}} - 36 = 0$

Этап 5

Перепишем $\frac{1^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{2}}$ в виде ${(\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})}^{2}$ .

${(\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})}^{2} - 36 = 0$

Этап 6

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

${(\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})}^{2} - 6^{2} = 0$

Этап 7

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ и $b = 6$ .

$(\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + 6) (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 6) = 0$

Этап 8

Чтобы записать $6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$(\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}) (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 6) = 0$

Этап 9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + 6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 6) = 0$

Этап 10

Чтобы записать $- 6$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1 + 6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - 6 \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}) = 0$

Этап 11

Объединим $- 6$ и $\frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{1 + 6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}) = 0$

Этап 12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + 6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1 - 6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Этап 13

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\frac{1 + 6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

$\frac{1 - 6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Этап 14

Приравняем $\frac{1 + 6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Приравняем $\frac{1 + 6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ к $0$ .

$\frac{1 + 6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Этап 14.2

Решим $\frac{1 + 6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Приравняем числитель к нулю.

$1 + 6 x^{\frac{1}{3}} = 0$

Этап 14.2.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$6 x^{\frac{1}{3}} = - 1$

Этап 14.2.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(6 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 14.2.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.3.1.1

Упростим ${(6 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.3.1.1.1

Применим правило умножения к $6 x^{\frac{1}{3}}$ .

$6^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 14.2.2.3.1.1.2

Возведем $6$ в степень $3$ .

$216 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 14.2.2.3.1.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.3.1.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$216 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 14.2.2.3.1.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.3.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$216 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 14.2.2.3.1.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$216 x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Этап 14.2.2.3.1.1.4

Упростим.

$216 x = {(- 1)}^{3}$

Этап 14.2.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.3.2.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$216 x = - 1$

Этап 14.2.2.4

Разделим каждый член $216 x = - 1$ на $216$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.4.1

Разделим каждый член $216 x = - 1$ на $216$ .

$\frac{216 x}{216} = \frac{- 1}{216}$

Этап 14.2.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.4.2.1

Сократим общий множитель $216$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{216 x}{216} = \frac{- 1}{216}$

Этап 14.2.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{216}$

Этап 14.2.2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.4.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{216}$

Этап 15

Приравняем $\frac{1 - 6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Приравняем $\frac{1 - 6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ к $0$ .

$\frac{1 - 6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Этап 15.2

Решим $\frac{1 - 6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Приравняем числитель к нулю.

$1 - 6 x^{\frac{1}{3}} = 0$

Этап 15.2.2

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 6 x^{\frac{1}{3}} = - 1$

Этап 15.2.2.2

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(- 6 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 15.2.2.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.3.1.1

Упростим ${(- 6 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.3.1.1.1

Применим правило умножения к $- 6 x^{\frac{1}{3}}$ .

${(- 6)}^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 15.2.2.3.1.1.2

Возведем $- 6$ в степень $3$ .

$- 216 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 15.2.2.3.1.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.3.1.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 216 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 15.2.2.3.1.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.3.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$- 216 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Этап 15.2.2.3.1.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$- 216 x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Этап 15.2.2.3.1.1.4

Упростим.

$- 216 x = {(- 1)}^{3}$

Этап 15.2.2.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.3.2.1

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 216 x = - 1$

Этап 15.2.2.4

Разделим каждый член $- 216 x = - 1$ на $- 216$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.4.1

Разделим каждый член $- 216 x = - 1$ на $- 216$ .

$\frac{- 216 x}{- 216} = \frac{- 1}{- 216}$

Этап 15.2.2.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.4.2.1

Сократим общий множитель $- 216$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 216 x}{- 216} = \frac{- 1}{- 216}$

Этап 15.2.2.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 216}$

Этап 15.2.2.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.4.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{1}{216}$

Этап 16

Окончательным решением являются все значения, при которых $\frac{1 + 6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1 - 6 x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{216}, \frac{1}{216}$