Основы мат. анализа Примеры

$x^{2} - 2 x + 1 = 20$

Этап 1

Вычтем $20$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} - 2 x + 1 - 20 = 0$

Этап 2

Вычтем $20$ из $1$ .

$x^{2} - 2 x - 19 = 0$

Этап 3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2$ и $c = - 19$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 19)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 19}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 19}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 19$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 76}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.3

Добавим $4$ и $76$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.4

Перепишем $80$ в виде $4^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $80$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Этап 5.3

Упростим $\frac{2 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm 2 \sqrt{5}$

Этап 6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 19}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 19}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 19$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 76}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.3

Добавим $4$ и $76$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.4

Перепишем $80$ в виде $4^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $80$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Этап 6.3

Упростим $\frac{2 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm 2 \sqrt{5}$

Этап 6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = 1 + 2 \sqrt{5}$

Этап 7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 19}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot - 19$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 19}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $- 19$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 76}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.3

Добавим $4$ и $76$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.4

Перепишем $80$ в виде $4^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Вынесем множитель $16$ из $80$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.4.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Этап 7.3

Упростим $\frac{2 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 1 \pm 2 \sqrt{5}$

Этап 7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = 1 - 2 \sqrt{5}$

Этап 8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 1 + 2 \sqrt{5}, 1 - 2 \sqrt{5}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 1 + 2 \sqrt{5}, 1 - 2 \sqrt{5}$

Десятичная форма:

$x = 5.47213595 \dots, - 3.47213595 \dots$